人教版高中数学第5讲 圆锥曲线综合问题(解析版）.docx

第5讲　圆锥曲线综合问题
目录
重难点题型突破
突破一：求椭圆，双曲线，抛物线轨迹方程
突破二：离心率问题
突破三：圆锥曲线上点到定点（定直线）距离最值
突破四：圆锥曲线中三角形（四边形）面积最值问题
突破五：圆锥曲线中定点，定值问题
突破六：圆锥曲线中定直线问题
突破七：圆锥曲线中的向量问题
突破一：求椭圆，双曲线，抛物线轨迹方程
1．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二阶段练****平面直角坐标系中，动圆T与x轴交于两点A，B，与y轴交于两点C，D，若|AB|和均为定值，则T的圆心轨迹一定是（    ）
A．椭圆（或圆） B．双曲线 C．抛物线 D．前三个答案都不对
【答案】D
【详解】设圆心，半径，由圆在轴上截得弦长为得，
所以，同理：
两式相减消去得
当时，，圆心轨迹为直线，
当时，，因为|AB|和均为定值，故圆心轨迹为双曲线，
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练****已知两圆，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图，
设动圆的半径为，则，，
则，
所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点，以为实轴长的双曲线的右支.
因为，
所以.
故动圆圆心的轨迹方程为.
故选：D.
3．（2022·湖北省天门外国语学校高二阶段练****直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为直线和互相垂直，
所以，
又，
所以点在一，四象限或者二，三象限，
设，
因为为的中点，
所以，
所以
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
故选：B
4．（多选）（2022·湖北·高二阶段练****圆的半径为定长是圆上任意一点，是圆所在平面上与不重合的一个定点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹可能是（    ）
A．一个点 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
【答案】ABD
【详解】（1）因为为圆内的一定点，为上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，可得，即动点到两定点的距离之和为定值，
①当不重合时，根据椭圆的定义，可知点的轨迹是：以为焦点的椭圆；
②当重合时，点的轨迹是圆；
（2）当为圆外的一定点，为上的一动点，
线段的垂直平分线交直线于点，
可得，
即动点到两定点的距离之差绝对值为定值，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹是：以为焦点的双曲线；
（3）当为圆上的一定点，为上的一动点，此时点的轨迹是圆心.
综上可得：点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线.
故选：ABD
5．（多选）（2022·江苏南通·高二期中）过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，如果，那么点的轨迹可能是（    ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．线段
【答案】BC
【详解】依题意可知直线和直线的斜率存在，
设过的椭圆的切线方程为，
由消去并化简得：，
其，
整理得，，
其，整理得，符合题意，
所以，
整理得①，，
当时，，①即，
即点的轨迹是圆的一部分.
当或时，，由于，所以点的轨迹是椭圆的一部分.
故选：BC
6．（2022·上海市嘉定区第一中学高二期末）已知、，，函数．若、、成等比数列，则平面上点的轨迹是______．
【答案】双曲线和直线
【详解】解：由题意得，
即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故答案为：双曲线和直线.
7．（2022·福建三明·高二期中）双曲线：实轴的两个顶点为，，点为双曲线上除，外的一个动点，若，，则动点的轨迹方程是______.
【答案】且
【详解】设,
由双曲线方程知，实轴的两个顶点，
，
∵QA⊥PA，∴，
可得，
同理根据QB⊥PB，可得，两式相乘可得
∵点为双曲线M上除A、B外的一个动点，
，整理得，
，化简可得，由点不与重合，知.
动点的轨迹方程是且.
故答案为：且.
8．（2022·河北·任丘市第一中学高二期中）已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为______.
【答案】
【详解】解：圆，圆心为，半径为4，
因为线段的垂直平分线交于点，所以，
所以．
所以由椭圆定义知，的轨迹是以，为焦点的椭圆，方程为．
故答案为：．
9．（2022·全国·高三专题练****已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，当点运动时，点的轨迹方程是____