人教版高中数学第5章 §5.3　平面向量的数量积.docx

§5.3　平面向量的数量积
考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
a∥b的充要条件
a＝λb(λ∈R)
x1y2－x2y1＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
(当且仅当a∥b时等号成立)
|x1x2＋y1y2|≤
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　×　)
(2)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角．(　×　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　√　)
(4)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)
教材改编题
1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是(　　)
A．0·a＝0
B．a·b＝b·c，则a＝c
C．a·b＝0⇒a⊥b
D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
答案　CD
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案　2
3．已知向量a，b满足3|a|＝2|b|＝6，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则a，b夹角的余弦值为________．
答案　－
解析　设a，b的夹角为θ，
依题意，(a－2b)·(2a＋b)＝0，
则2a2－3a·b－2b2＝0，
故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0，
则cos θ＝－.
题型一　平面向量数量积的基本运算
例1　(1)(2021·北京)a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝_________；a·b＝________.
答案　0　3
解析　∵a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，
∴a＋b＝(4,0)，
∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，
a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.
(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||
＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cos θ＝，则·＝________.
答案　－2
解析　如图所示，
∵＝，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵＝3，
∴＝＋＝＋，
＝－＝－，
又∵||＝4，||＝3，
cos θ＝，
则·＝4×3×＝8，
∴·＝·
＝·－2＋2
＝×8－9＋×42＝－2.
教师备选
1．(2019·全国Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·等于(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
答案　C
解析　因为＝－＝(1，t－3)，
所以||＝＝1，
解得t＝3，
所以＝(1,0)，
所以·＝2×1＋3×0＝2.