人教版高考重点突破课二 数列.doc

题型一　等差、等比数列的交汇
例1 已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*).
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，
而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.
又因为q>0，解得q＝2，所以bn＝2n.
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8①，由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16②，联立①②，
解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.
(2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，有a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故
Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，
4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，
上述两式相减，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1
＝－4－(3n－1)×4n＋1
＝－(3n－2)×4n＋1－8.
得Tn＝×4n＋1＋.
所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n＋1＋.
感悟提升　等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解，求解时注意对性质的灵活运用.
训练1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a2是a1，a5的等比中项，S5＝25.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＋bn＋1＝Sn，求b2－b20.
解　(1)∵a2是a1，a5的等比中项，
∴a＝a1a5，∴(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，
∴d2＝2a1d.
又∵d≠0，d＝2a1，①
S5＝5a1＋10d＝25，②
由①②解得a1＝1，d＝2，
∴an＝2n－1，Sn＝＝n2.
(2)∵bn＋bn＋1＝n2，
当n≥2时，bn－1＋bn＝(n－1)2，
∴bn＋1－bn－1＝2n－1，
∴
∴b20－b2＝＝189，
∴b2－b20＝－189.
　题型二　数列与不等式的交汇
例2 (12分)(2021·浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
[规范答题]
解　(1)因为4Sn＋1＝3Sn－9，
所以当n≥2时，4Sn＝3Sn－1－9，
两式相减可得4an＋1＝3an，即＝.……………………2分
当n＝1时，4S2＝4＝－－9，
解得a2＝－，所以＝.
所以数列{an}是首项为－，公比为的等比数列，
所以an＝－×＝－.……………………4分
(2)因为3bn＋(n－4)an＝0，
所以bn＝(n－4)·.……………………5分
所以Tn＝－3×－2×－1×＋0×＋…＋(n－4)·，
所以Tn＝－3×－2×－1×＋0×＋…＋(n－5)·
＋(n－4)·，……………………7分
以上两式相减得Tn＝－3×＋＋＋…＋－(n－4)·
＝－＋－(n－4)·＝－n·，
所以Tn＝－4n·.……………………9分
因为Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，
所以－4n·≤λ(n－4)·恒成立，
即－3n≤λ(n－4)恒成立.
当n＜4时，λ≤＝－3－，此时λ≤1；
当n＝4时，－12≤0恒成立；
当n>4时，λ≥＝－3－，此时λ≥－3.
所以－3≤λ≤1，即实数λ的取值范围为[－3，1]. ……………………12分
第一步　根据题目条件，求出数列的通项公式
第二步　根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项
相消法、错位相减法等)求和
第三步　利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围
第四步　反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤
训练2 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝anan＋1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求证：＜Tn＜.
(1)解　∵4Sn＝anan＋1，n∈N*，
∴4a1＝a1·a2，又a1＝2，∴a2＝4.
当n≥2时，4Sn－1＝an－1an，得4an＝a