人教高中数学第6章 §6.4　数列中的构造问题　培优课.docx

§6.4　数列中的构造问题
题型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型
命题点1　an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0，其中a1＝a)
例1　(2022·九江模拟)在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，求数列{an}的通项公式．
解　由an＋1＝3an－4，
可得an＋1－2＝3(an－2)，
所以＝3.
又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，
所以an－2＝3n，所以an＝3n＋2.
命题点2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
例2　已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式．
解　∵an＋1＝2an－n＋1，
∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，
∴＝2，
∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴an－n＝2·2n－1＝2n，
∴an＝2n＋n.
命题点3　an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)
例3　在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，求数列{an}的通项公式．
解　方法一　原递推式可化为
an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)．①
比较系数得λ＝－4，①式即是
an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)．
则数列{an－4·3n－1}是首项为a1－4·31－1＝－5，公比为2的等比数列，
∴an－4·3n－1＝－5·2n－1，
即an＝4·3n－1－5·2n－1.
方法二　将an＋1＝2an＋4·3n－1的两边同除以3n＋1，得＝·＋，
令bn＝，
则bn＋1＝bn＋，
设bn＋1＋k＝(bn＋k)，比较系数得k＝－，
则＝，
∴是以－为首项，为公比的等比数列．∴bn－＝·n－1，
则bn＝－·n－1，
∴an＝3n·bn＝4·3n－1－5·2n－1.
思维升华　(1)形如an＋1＝αan＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列．
(2)递推公式an＋1＝αan＋β的推广式an＋1＝αan＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn＋1后得到＝·＋，转化为bn＋1＝kbn＋(k≠0,1)的形式，通过构造公比是k的等比数列求解．
跟踪训练1　(1)(2022·武汉二中月考)已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝－3×2n－1 B．an＝3×2n－1
C．an＝5n＋3×2n－1 D．an＝5n－3×2n－1
答案　D
解析　方法一　将递推公式
an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，
得＝·＋，①
令＝bn，则①式变为bn＋1＝bn＋，
即bn＋1－1＝(bn－1)，
所以数列{bn－1}是首项为
b1－1＝－1＝－，
公比为的等比数列，
所以bn－1＝×n－1，
即bn＝1－×n－1＝1－，
故an＝5n－3×2n－1.
方法二　设an＋1＋k×5n＋1＝2(an＋k×5n)，
则an＋1＝2an－3k×5n，
与题中递推公式比较得k＝－1，
即an＋1－5n＋1＝2(an－5n)，
所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3，
公比为2的等比数列，则an－5n＝－3×2n－1，
故an＝5n－3×2n－1.
(2)(2022·衡水质检)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
答案　an＝2n－1，n∈N*
解析　因为Sn＋1－2Sn＝1，
所以Sn＋1＝2Sn＋1.
因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，
因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，
所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，
所以an＝2n－1，n∈N*.
题型二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型)
例4　已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，求这个数列的通项公式．
解　∵an＝2an－1＋3an－2，
∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)，
又a1＋a2＝7，
∴{an＋an－1}是首项为7，公比为3的等比数列，
则an＋an－1＝7×3n－2，①
又an－3an－