人教高中数学第8讲　曲线与方程.doc

第8讲　曲线与方程
一、选择题
1.方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)
A.两条直线 B.两条射线
C.两条线段 D.一条直线和一条射线
解析　原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.
答案　D
2.(2017·衡水模拟)若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是(　　)
A.任意实数a方程表示椭圆 B.存在实数a方程表示椭圆
C.任意实数a方程表示双曲线 D.存在实数a方程表示抛物线
解析　当a>0且a≠1时，方程表示椭圆，故选B.
答案　B
3.(2017·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析　∵M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆.
∴a＝，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴M的轨迹方程为＋＝1.
答案　D
4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是(　　)
A.y2＝2x B.(x－1)2＋y2＝4
C.y2＝－2x D.(x－1)2＋y2＝2
解析　如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝＝，
即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.
答案　D
5.平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)
A.直线 B.椭圆
C.圆 D.双曲线
解析　设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，
所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即
解得又λ1＋λ2＝1，
所以＋＝1，即x＋2y＝5 ，
所以点C的轨迹为直线，故选A.
答案　A
二、填空题
6.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为__________.
解析　设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得＝2，
∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.
∴P的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆.
即轨迹所包围的面积等于4π.
答案　4π
7.已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为________.
解析　设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，∴即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
答案　y＝2x
8.在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为________.
解析　以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点.