人教高中数学第8章 §8.5　椭圆及其性质.docx

§8.5　椭圆及其性质
考试要求　1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．
知识梳理
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1 (a>b>0)
＋＝1 (a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，
A2(0，a)
B1(－b，0)，
B2(b，0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率
e＝(0<e<1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2) ＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　×　)
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　√　)
(3)＋＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．(　×　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　√　)
教材改编题
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A．4 B．5 C．8 D．10
答案　D
解析　依椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.
2．若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(　　)
A．3 B．2＋
C．2 D.＋1
答案　A
解析　由题意知a＝2，b＝，所以c＝1，距离的最大值为a＋c＝3.
3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为，则C的方程可以为________．
答案　＋＝1(答案不唯一)
解析　因为焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为＋＝1，a>b>0，
因为离心率为，
所以＝，
所以＝＝，
则＝.
题型一　椭圆的定义及其应用
例1　(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
答案　B
解析　点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．
(2)设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
答案　
解析　由题意知，c＝.
又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，
|F1F2|＝2，
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－
2|F1P|·|PF2|cos 60°
＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝，
∴＝|F1P|·|PF2|sin 60°
＝××
＝.
延伸探究　若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积．
解　∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)
＝4a2－16，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝4.
教师备选
1．△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案　A
解析　由题知点C到A，B两