人教高中数学第8章 §8.13　圆锥曲线压轴小题突破　培优课.docx

§8.13　圆锥曲线压轴小题突破
题型一　圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题
例1　(1)(2022·济南联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(－c,0)，F2(c,0)，点P是椭圆C上一点，满足|＋|＝|－|，若以点P为圆心，r为半径的圆与圆F1：(x＋c)2＋y2＝4a2，圆F2：(x－c)2＋y2＝a2都内切，其中0<r<a，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由|＋|＝|－|两边平方，
可得·＝0，则⊥，
由已知得
即|PF1|－|PF2|＝a，
由|PF1|＋|PF2|＝2a，得
在△PF1F2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2
得＋＝4c2，即e2＝＝，所以e＝.
(2)(2022·广州模拟)已知A，B分别为椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点，P为椭圆C上一动点，PA，PB与直线x＝3交于M，N两点，△PMN与△PAB的外接圆的周长分别为l1，l2，则的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由已知得A(－2,0)，B(2,0)，
设椭圆C上动点P(x，y)，
则利用两点连线的斜率公式可知
kPA＝，kPB＝，
∴kPA·kPB＝·
＝＝
＝＝－.
设直线PA的方程为y＝k(x＋2)，
则直线PB的方程为y＝－(x－2)，
根据对称性设k>0，
令x＝3，得yM＝5k，yN＝－，
即M(3,5k)，N，
则|MN|＝5k＋.
设△PMN与△PAB的外接圆的半径分别为r1，r2，
由正弦定理得2r1＝，
2r2＝，
∵∠MPN＋∠APB＝180°，
∴sin∠MPN＝sin∠APB，
∴＝＝＝＝
≥＝，
当且仅当5k＝，即k＝时，等号成立，
即的最小值为.
思维升华　高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题．
跟踪训练1　(1)(2022·深圳模拟)F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F1的直线
l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，若l⊥F2B，则·等于(　　)
A．4－2 B．4＋
C．6－2 D．6＋2
答案　C
解析　在双曲线C中，a＝1，b＝，c＝，
则F1(－，0)，F2(，0)，
因为直线l过点F1，由图知，直线l的斜率存在且不为零，
因为l⊥F2B，则△F1BF2为直角三角形，
可得|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2＝12，
由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝2，
所以4＝(|BF1|－|BF2|)2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|＝12－2|BF1|·|BF2|，
可得|BF1|·|BF2|＝4，
联立
解得|BF2|＝－1，
因此·＝(＋)·
＝2＋·
＝(－1)2＝6－2.
(2)(多选)(2022·德州模拟)已知椭圆C：＋＝1(0<b<)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，点Q是圆x2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＝0对称的曲线E上任意一点，若|PQ|－|PF2|的最小值为5－2，则下列说法正确的是(　　)
A．椭圆C的焦距为2
B．曲线E过点F2的切线斜率为±
C．若A，B为椭圆C上关于原点对称的异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB斜率之积为－
D．|PQ|＋|PF2|的最小值为2
答案　BC
解析　圆x2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＝0对称的曲线为以C(4,0)为圆心，1为半径的圆，
即曲线E的方程为(x－4)2＋y2＝1，
由椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
|PQ|－|PF2|＝|PQ|－(2－|PF1|)
＝|PQ|＋|PF1|－2≥|Q′F1|－2.
由图知Q′(3,0)，
|Q′F1|－2＝3＋c－2＝5－2，
解得c＝2，b＝1，
椭圆方程为＋y2＝1.
故焦距|F1F2|＝2c＝4，A错误；
|PQ|＋|PF2|≥|Q′F2|＝3－c＝1，D错误；
设曲线E过点F2的切线斜率为k，
则切线方程为kx－2k－y＝0，
由圆心到切线方程的距离等于半径得＝1，
即k＝±，B正确；
设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
则kPA·kPB＝·＝，
又点P，A，B都在椭圆上，即＋y＝1，
＋y＝1⇒＝－，C正确．
题型二　圆锥曲线与三角形“四心”问题
例2　(1)(2022·苏州联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P