人教高中数学第11讲 立体几何中的探索性问题（解析版）.docx

第11讲 立体几何中的探索性问题
高考预测一：动态问题
1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（Ⅰ）若点是棱的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：若二面角为，试求的值．
【解析】解：（Ⅰ）证明：连接，交于，连接．
且，即．
四边形为平行四边形，且为中点，
又点是棱的中点，．
平面，平面，
平面 （4分）
（Ⅱ），为的中点，．
平面平面，且平面平面，
平面．
，，为的中点，四边形为平行四边形，．
即．（6分）
如图，以为原点建立空间直角坐标系． 则平面的法向量为；，0，，，，．
则，．
设，
在平面中，，，（8分）
平面法向量为（10分）
二面角为，，
（舍
（12分）
2．如图，平面，，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的正弦值为，求线段的长．
【解析】解：（Ⅰ）证明：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，
设，，则，2，，
，2，，，1，，，0，，
平面的法向量，0，，
，且平面，
平面．
（Ⅱ）解：，1，，，0，，，，，
设，，为平面的法向量，
则，令，得，2，，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
（Ⅲ）解：设平面的法向量，，，
则，取，得，2，，
设平面法向量，，，
则，取，得，1，，
二面角的正弦值为，
，
解得．
二面角的正弦值为时线段的长为．
3．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求点到平面的距离；
（2）设是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求二面角的余弦值．
【解析】解：（1），由于平面，从而即为三棱锥的高，
故．
设点到平面的距离为．
由平面得，
又由于，故平面，所以．
由于，
所以．故
因为，所以点到平面的距离．
（2）以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点的坐标为，0，，，1，，，2，，，0，．
设，
因为，0，，所以，0，，
由，，，得，，，
又，，，
从而，．
设，，，
则，．
当且仅当，即时，，的最大值为．
在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．
又因为，所以．
，，，，1，设平面的一个法向量为，，，
则，，即，得：，令，则．
，0，是平面的一个法向量．
又，，，，，，1，
设平面的一个法向量为，，，
则，，即，取，则，，
，4，是平面的一个法向量．
从而，，
又由于二面角为钝角，二面角的余弦值为．
高考预测二：翻折问题
4．如图，是等边三角形，，，将沿折叠到△的位置，使得．
（1）求证：；
（2）若，分别是，的中点，求二面角的余弦值．
【解析】（1）证明：因为，所以，
又因为，且，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）因为是等边三角形，
，，
不防设，则，
又因为，分别为，的中点，
由此以为原点，，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系．
则有，0，，，0，，，1，，，0，，，．
所以，．
设平面的法向量为．
则，
即，
令，则．
所以．
又平面的一个法向量为．
所以．
所以二面角的余弦值为．
5．图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．
（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的二面角的大小．
【解析】证明：（1）由已知得，，，
，确定一个平面，
，，，四点共面，
由已知得，，面，
平面，平面平面．
解：（2）作，垂足为，
平面，平面平面，
平面，
由已知，菱形的边长为2，，
，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系，
则，1，，，0，，，0， ，
，0，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，6，，
又平面的法向量为，1，，
，
二面角的大小为．
6．正方形的边长为2，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【解析】解：（1）由已知可得，平面平面，平面，，
平面平面，
所以平面，，又，所以，
又，且，所以平面．
（2）作，垂足为．由（1）得，平面．
以为坐标原点，的方