人教高中数学第12讲 函数与导数的综合（教师版）.docx

第12讲 函数与导数的综合
真题展示
2022新高考一卷第12题
已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则　　
A． B． C．（4） D．（2）
【思路分析】由为偶函数，可得关于对称，可判断；为偶函数，可得，关于对称，可判断；由，关于对称，可得，得到是的极值点，也是极值点，从而判断；图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断．
【解析】【解法一】(特殊值验证)：为偶函数，可得，关于对称，
令，可得，即（4），故正确；
为偶函数，，关于对称，故不正确；
关于对称，是函数的一个极值点，，
又关于对称，，是函数的一个极值点，
关于对称，是函数的一个极值点，，故正确；
图象位置不确定，可上下移动，即没一个自变量对应的函数值是确定值，故错误．
故选：．
【解法二】 (导数推导)：由f(),g(2+x)均为偶函数，得f()=f(), g(2+x)=g(2−x)，
故f()=f(),两边同时求导得−f'()= f'(),即−g()=g(),
∴g(x)关于直线x=2对称，且关于点(,0)对称，从而可得g(x)的周期为T=4(2−
)=2,
由−g()=g()可得−g()=g(),即g()=0，∴g()= g(+2)= g()=0,B正确；
g(−1)= g(−1+2)=g(1)=g()=−g()=−g(2)，D不正确。
由导函数与原函数的关系知函数f(x)的周期为2，关于直线x=对称，关于点(2，m)对称，若m=0，则f(0)=f(2)=0，若m≠0，f(0)=f(2)≠0，A错误；
由f(x)关于直线x=对称，得f(−1)=f(−)=f(+)=f(4)，C正确。
【解法三】(特殊函数)：构造函数f(x)=sinπx+2，则g(x)=πcosπx，适合题意条件，验证选项，A、D错误，B、C正确。
【试题评价】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
考查目标
试题以抽象函数作为背景，考查函数的奇偶性、对称性、周期性等基础知识.试题考查了考生分析问题的能力和运用函数、导数相关知识解决问题的能力.作为新高考试卷的压轴选择题，试题紧扣课程标准，力图引导教学，符合基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求．试题将导函数与函数的性质结合，设计新颖，具有较好的选拔功能.
试题亮点
以往试题中考查抽象函数性质的问题，往往通过特殊值法、单调性、奇偶性即可得出结论.试题除了考查抽象函数的奇偶性、周期性、对称性，还创造性地将导函数引入其中，这便成为本题的一大亮点；同时多选题的题型设置也为不同能力层次的考生提供了发挥的空间．试题源于教材，紧扣课程标准，对考生的能力能进行很好的区分，具有较好的选拔功能.
知识要点整理
构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：
（1）直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．
方法
高考示例
思维过程
直接构造法
已知函数f(x)＝－x＋aln x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：＜a－2.
……
(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0(函数在极值点处的导数为0)，所以x1x2＝1.
不妨设x1＜x2，则x2＞1(注意原函数的定义域)．
由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，所以＜a－2等价于－x2＋2ln x2＜0.【关键1：将所证不等式进行变形与化简】
设函数g(x)＝－x＋2ln x，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)单调递减，【关键2：直接构造函数，判断函数单调性】
又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，所以－x2＋2ln x
2＜0，即＜a－2.【关键3：结