人教高中数学第22讲 导数的应用（教师版）.docx

导数的应用
真题展示
2022新高考一卷第22题
已知函数和有相同的最小值．
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【思路分析】（1）先对两个函数求导，然后研究函数和的单调性，从而求得和的零点，进而得到函数的极小值(最小值)，然后列出方程求得的值；
（2）设三个交点的横坐标从小到大依次为，，，得到有关，，的方程，然后化简利用函数的单调性求得，和的数量关系，进而得证命题．
【解答】（1）解：，，
，，
在上单调递增，函数在上单调递增，
函数和函数在各自定义域上单调递增，
又函数和有最小值，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，在，上单调递增，
，，
函数和有相同的最小值
，即lna=，lna+−1=0,
记F(x)= lnx+−1 (x>0)，则(x)=>0，故F(x)在x>0上增，又F(1)=0，
故F(a)=0有唯一解a=1.∴a=1.
（2）证明：由(1)知f(x)= x，g(x)= x−lnx，(x)= −1,(x)=1−(x>0)，
f(x)在(−∞, 0)上减，在(0,+∞)上增，f(x)最小值是f(0)=1；
g(x)在(0,1)上减，在(1,+∞)上增，g(x)最小值是g(1)=1，
如图，对于函数f(x)，当x>0时，函数值从最小值1逐渐增大到+∞；对于函数g(x)，当0<x<1时，函数值从+∞逐渐减少到最小值1，故必然存在∈(0,1)，使得f(x)=g(x)。
下证存在唯一的∈(0,1)，使得f(x)=g(x)。
由f(x)=g(x)有+lnx−2x=0，
设G(x)= +lnx−2x(x>0)，则(x)= +−2(x>0)，
若x≥1，则(x)≥e+−2>>0；若0<x<1，则(x)>+−2=−1>0，
故(x)>0对x>0恒成立，∴G(x)在x>0上单调递增，
又G(1)=e+0−2>0, G()=+ln−<−2−<−2<0，
∴存在唯一的∈(0,1)，使得G()=0，即方程f(x)=g(x)有唯一的解∈(0,1)。
由图知当b= f()=g()时，直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点；
当1<b<f()或b>f()时，直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有四个不同的交点；
当b=1时，直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有2个不同的交点；
当b<1时，直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)没有交点。
取b=f()=g()时，直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，作出直线y=b，y=f(x)和y=g(x)的草图，设直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)的三个交点的横坐标从小到大依次为，，，
由（1）得，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，，，，
，，，
，，
，，
，，，，，
，，，成等差数列，
存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【试题评价】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得、和的数量关系．
试题亮点
试题落实了高考评价体系中“一核四层四翼”的总要求，题目简洁，函数类型也是考生非常熟悉的，体现了基础性，有利于增强学生解决困难问题的信心和决心．但考生上手做题后就会发现，试题的设计常规中又蕴含很多的创新，因而考生会产生似曾相识但难以入手的感觉，需要在解题过程中综合运用所学知识不断发现，逐步推进试题有效考查了考生推理论证、运算求解等关键能力，考查了考生对数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法的理解与掌握，对学生思维的灵活性、严谨性、创新性提出了较高的要求.试题计算量很小，重思维，解答长度适中，设计由浅入深，层次分明，内涵丰富，重点突出，很好地达到考查目的，使理性思维深度、知识掌握的牢固程度、运算求解的娴熟程度不同的考生都能得到充分展示，较好地考查考生进一步学****的潜能，有利于人才选拔，对中学数学教学具有较好的引导作用.
知识要点整理
常用结论
⑴，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.
⑵
⑶
⑷.
导数单调性、极值、最值的直接应用
（切线）设函数.
（1）当时，求函数在区间上的最小值；
（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点求证：.
解：(1)时，，由，解得.
的变化情况如下表：
0
1
-
0
+
0
↘