人教高中数学第30讲 平面向量的数量积（解析版）.docx

第30讲 平面向量的数量积
【基础知识全通关】
一、平面向量的数量积
1．平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中θ是与的夹角.
【注】零向量与任一向量的数量积为0.
（2）投影的概念
设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度.
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.
2．平面向量数量积的运算律
已知向量和实数,则
①交换律：；
②数乘结合律：；
③分配律：.
二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质
设非零向量，是与的夹角.
（1）数量积：.
（2）模：.
（3）夹角： .
（4）垂直与平行：；a∥b⇔a·b=±|a||b|.
【注】当与同向时,；
当与反向时,.
（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔.
【考点研****一点通】
例1． 计算下列各式：
（1）(+)―(―)；
（2）2(3―4+)―3(2+―3)；
（3）．
【答案】（1）（2）11―11（3）
【解析】（1）原式=+==．
（2）原式=6―8+2―6―3+9=++（2+9）=11―11．
（3）原式

=
【总结】 数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，＞0时，与同向；＜0时，与反向；=0时，=0；故与一定共线．应用实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解．
【变式1-1】计算：
（1）6(3―2)+9(―2+)；
（2）；
（3）6(―+)―4(―2+)―2(―2+)．
【答案】（1）―3（2）（3）6+2
【解析】 （1）原式=18―12―18+9=―3．
（2）
．
（3）原式=6―6+6―4+8―4+4―2
=(6―4+4)+(8―6)+(6―4―2)
=6+2．
典例2若向量m=(2k−1,k)与向量n=(4,1)共线,则m⋅n=
A．0 B．4
C． D．
【答案】D
【解析】因为向量m=(2k−1,k)与向量n=(4,1)共线，
所以2k−1=4k，解得k=−12.
即m=(−2,−12)，n=(4,1)，
所以m⋅n=.
选D．
【变式2-1】 已知向量与的夹角为45°，则__________．
【答案】1+2
【解析】由向量与的夹角为45°，
得.
典例3 在平行四边形中，若则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示,
平行四边形中，，
，
，
，
因为，
所以
，
则，
所以.
故选C．
例4．已知、、是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为（ ）
①·=±||·||∥；②、反向·=－||·||；③⊥|+|=|－|；④||=|||·|=|·|．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
（1）∵·=|| |b|cos，∴由·=±|| ||及、为非零向量可得cos=±1，∴=0或π，∴∥，且以上各步均可逆，故叙述①是正确的．
（2）若、反向，则、的夹角为π，∴·=|| ||cosπ=―|| ||且以上各步均可逆，故叙述②是正确的．
（3）当⊥时，将向量、的起点确定在同一点，则以向量、为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|+|=|―|．反过来，若|+|=|―|，则以、为邻边的四边形为矩形，∴⊥，故叙述③是正确的．
（4）当||=||，但与的夹角和与的夹角不等时，就有|·|≠|·|，反过来的由|·|=|·|也推不出||=||．故叙述④是不正确的．综上所述，在四个叙述中，前3个是正确的，而第4个是不正确的．
【总结】需对以上四个叙述逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．
例5．已知||=4，||=5，当（1）∥，（2）⊥，（3）与的夹角为30°时，分别求与的数量积．
【点拨】 已知向量||与||，求·，只需确定其夹角．
【解析】
（1）当∥时，有=0°和=180°两种可能．
若与同向，则=0°，·=|| |b|cos0°=4×5×1=20；
若与反向，则=180°，·=|| ||cos180°=4×5