人教高中数学解密03 不等式（解析版）.docx

解密03讲 ：不等式
【考点解密】
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)
(2)作商法 (a∈R，b>0)
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b<a
⇔
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒ac<bc
同向可加性
⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)
a，b同为正数
3．一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2
(x1<x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x<x2}
∅
∅
4．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
5．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)≥2(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
6．用基本不等式求最值
用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等.
(1)a，b是正数；
(2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2；
②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
【方法技巧】
一、比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
二、判断不等式的常用方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
(2)利用特殊值法排除错误答案．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．
三、利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
【核心题型】
题型一：比较两个数（式）的大小
1．已知，，，则，，的大小关系为（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；
通过作差法，，确定符号，排除C选项；
通过作差法，，确定符号，排除A选项；
【详解】由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，
故选：B.
2．已知：，则3，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项.
【详解】，，
∴；
又 ，∴.故选D.
【点睛】本题考查指数式化与对数式关系以及对数函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．设，，则与的大小关系是（     ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案
【详解】解：因为，，
所以，
∴，
故选：A
题型二：不等式的基本性质
4．对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（     ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】由不等式性质判断各选项正误即可.
【详解】对于选项A，注意到若，当时，.故A错误.
对于选项B，设，
得，解得.又，，
得.故B错误.
对于C选项，因，则，故C错误.
对于D选项，，因，则，故D正确.
故选：D
5．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（     ）
A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bd
C．若ab>