人教高中数学解密12 平面向量 （解析版）.docx

解密12讲：平面向量
【考点解密】
考的一．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点二．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，
当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
考点三.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
考点四．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，
使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
考点五．平面向量的坐标表示
(1)向量及向量的模的坐标表示
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
(2)平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)．
考点六．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
考点七.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].
考点八.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
考点九.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
考点十.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
符号表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
【方法技巧】
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
【核心题型】
题型一：平面向量的基础知识
1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（   ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量，必有
D．若满足且与同向，则
【答案】C
【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.
【详解】依题意，
对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若同向共线，，
若反向共线，，
若不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知.
综上可知对于任意向量，必有，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练****已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量模的定义可得，进而求得，利用向量的线性运算，结合向量模的定义即可求解.
【详解】解