人教高中数学考点04 不等式及性质（解析版）.docx

考点04 不等式及性质
【命题解读】
不等式的性质是新高考常考查的知识点，主要常见于单选题或者多选题中出现。考查不等式的比较大小，常用的方法一是运用不等式的性质进行判断，二是运用特殊化进行排除。
【基础知识回顾】
1、两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔a＞b.
(2)a－b＝0⇔a＝b.
(3)a－b＜0⇔a＜b.
2、不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b<a；
(2)传递性：a>b，b>c⇒ac；　　
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc;
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；　 c<0时应变号．
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．
3、常见的结论
(1)a>b，ab>0⇒<.
(2)a<0<b⇒<.
(3)a>b>0,0<c<d⇒>.
(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.
4、两个重要不等式
若a>b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)．
(2)>；<(b－m>0)．
1、下列四个命题中，为真命题的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b，c>d，则a－c>b－d
C．若a>|b|，则a2>b2
D．若a>b，则<
【答案】　C
【解析】　当c＝0时，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1时，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，故选C．
2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多选题）设，，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】
当，满足条件．但不成立，故A错误，
当时，，故B错误，
，，则，故C正确，
，，故D正确.
故选：CD．
3、（2020江苏盐城中学月考）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）.
A．若，则
B．若，，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】BCD
【解析】
选项A：当取，时，，∴本命题是假命题.
选项B：已知，，所以，
∴，故，∴本命题是真命题.
选项C：，
∵，∴，∴本命题是真命题.
选项D：，
∵，∴，∴，∴本命题是真命题.
故选：BCD
4、若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
【答案】＜
【解析】：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
5、已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．
【答案】：(－4,2)　(1,18)
【解析】∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，
∴－4<x－y<2.
由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，
∴1<3x＋2y<18.
考向一　不等式的性质
例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若则
D．若则
【答案】BC
【解析】
若，，则，故A错；
若，，则，化简得，故B对；
若，则，又，则，故C对；
若，，，，则，，，故D错；
故选：BC．
变式1、若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　)
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【答案】　C
【解析】方法一　因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
方法二　由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，
所以a－＞b－，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
变式2、已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　)
A．－>0 B．sinx－siny>0
C．x－y<0 D．ln x＋ln y>0