人教高中数学考点21 利用导数研究函数的单调性（解析版）.docx

考点21 利用导数研究函数的单调性
【命题解读】
从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力
【基础知识回顾】
1. 利用导数研究函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2. 判定函数单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．
3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围
(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间．
函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间．
(2)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a，b)；
函数y＝f(x)的减区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝减区间，也可转化为a，b是f′(x)＝0的两根．
.1、若函数y＝f(x)的图像如下图所示，则函数y＝f′(x)的图像有可能是( )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第1题图
　A　 　B
C　 　D
【答案】A.
【解析】　由f(x) 的图像可知：在(－∞，0) ，f(x)单调递减，∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；在(0，＋∞)，f(x)单调递增，∴当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；故选A.
2、函数f(x)＝－2lnx－x－的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】　函数f(x)＝－2lnx－x－的定义域为，且f′(x)＝－－1＋＝－，解不等式f′(x)>0，即x2＋2x－3<0，由于x>0，解得0<x<1.因此，函数y＝f(x)的单调递增区间为.故选D.
3、函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是( )
第3题图
A. (－∞，－2]
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】　由题图可知d＝0. 不妨取a＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c. 由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0，27＋6b＋c＝0，∴b＝－，c＝－18. ∴y＝x2－x－6，y′＝2x－. 当x＞时，y′＞0，∴y＝x2－x－6的单调递增区间为[，＋∞). 故选D.
4、函数f (x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D．(－∞，a)
【答案】A
【解析】　由f′(x)＝－a>0，x>0，得0<x<.
∴f (x)的单调递增区间为.
5、函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为________．
【答案】(0,4)
【解析】：f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，
由f′(x)<0，得0<x<4，
∴函数f(x)的单调递减区间为(0,4)．
6、已知函数f (x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)，若f (x)的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为________；
【答案　　
【解析】　(1)f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，
由题意知f′(4)＝0，解得k＝.
7、(多填题)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称.则m＝________，f(x)的单调递减区间为________.
【答案】－3　(0，2)
【解析】由f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3，①
又g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6