人教高中数学预测13 计数原理及二项式定理（解析版）.doc

预测13 计数原理及二项式定理
概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
选择题☆☆☆☆
填空题☆☆
考向预测
1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．
2、考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）
3、考查各项系数和和各项的二项式系数和；4、二项式定理的应用.
1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．
2、考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）
3、考查各项系数和和各项的二项式系数和；4、二项式定理的应用.
1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．
2、二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用.
排列、组合
1. 分类加法计数原理
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__种不同的方法．
2. 分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1×m2×…×mn__种不同的方法．
3. 排列与排列数
(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个排列__．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的__排列数__，用符号__A__表示．
(3)排列数公式：
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，并且m≤n)
A＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝n！，规定0！＝1．
4. 组合与组合数
(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个组合__．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__组合数__，用符号__C__表示．
(3)组合数公式：
C＝＝＝
(n，m∈N*，并且m≤n)．
(4)组合数的性质：
性质1：C＝C．
性质2：C＝C＋C．
性质3：mC＝n·C．
二、 二项式定理
1· 二项式定理的展开式
公式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Can－kbk．
2. 二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1．
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂_排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从C，C，一直到C，C．
一、杨辉三角”与二项式系数的性质
(1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．
(2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C．
(3)增减性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐增大；
当k＞时，二项式系数逐渐减小．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．
(4)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各项二项式系数之和为2n，即C＋C＋…＋C＝2n.
(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1．
二、排列、组合的方法技巧
1、特殊位置、特殊元素优先安排
2、插空法
3、捆绑法
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】的展开式中x3y3的系数为
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【解析】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在