人教考点05 指数函数、对数函数和幂函数-2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）（解析版）.docx

2022年高考数学一轮复****小题多维练（新高考版）
考点05 指数函数、对数函数和幂函数

知识点1:指数函数
例1.已知函数f（x）＝ex若x1，x2∈R且x1≠x2，x0＝，记a＝，b＝f′（x0），c＝，则下列关系式中正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【答案】B
【分析】函数f（x）＝ex在R上是增函数，且函数图象向下凸出，不妨设x1＜x2，结合a、b和c的几何意义，判断出它们的大小即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝ex在R上是增函数，且f（x）＞0，x1，x2∈R且x1≠x2，x0＝，
不妨设x1＜x2，则有x1＜x0＜x2，
根据a＝表示曲线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）连线的斜率，
b＝f′（x0）是曲线在x＝x0处切线的斜率，
c＝是曲线上A、B两点纵坐标的等差中项，
结合函数f（x）＝ex的图象知，b＜a＜c．
故选：B．
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
练****1.函数的单调递增区间是（　　）
A． B． C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）
【答案】B
【分析】要求的单调递增区间，由于y＝2t在R上单调递增，只要求g（x）＝﹣x2+x﹣1的单调递增区间，根据二次函数的性质可求
【解答】解：要求的单调递增区间
∵y＝2t在R上单调递增
∴只要求g（x）＝﹣x2+x﹣1的单调递增区间
而由二次函数的性质可知g（x）＝﹣x2+x﹣1的单调递增区间为（﹣∞，）
故选：B．
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
2.若函数f（x）＝（x+1）ex，则下列命题正确的是（　　）
A．对任意m＞﹣，都存在x∈R，使得f（x）＜m
B．对任意m＜﹣，都存在x∈R，使得f（x）＜m
C．对任意m＜﹣，方程f（x）＝m只有一个实根
D．对任意m＞﹣，方程f（x）＝m总有两个实根
【答案】A
【分析】先求f′（x）＝（x+2）ex，这样便能判断函数f（x）在x＝﹣2处取到最小值，这样便可判断A正确．
【解答】解：f′（x）＝（x+2）ex；
∴x＜﹣2时，f′（x）＜0；x＞﹣2时，f′（x）＞0；
∴x＝﹣2时，f（x）取到极小值，也是最小值f（﹣2）＝；
∴对于任意的m＞，都存在x∈R，使得f（x）＜m；
故A正确．
这样当，存在x∈R，使f（x）＜m；
∴D错误．
∵f（x）的最小值为，∴m＜时，f（x）＝m无实数根；
∴C错误．
故选：A．
【知识点】指数函数综合题

3.已知点（2，9）在函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）图象上，对于函数y＝f（x）定义域中的任意x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2）；
②f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）；
③＜0；
④f（）＜
上述结论中正确结论的序号是　　　．
【答案】①④
【分析】求出指数函数的解析式，利用指数的基本运算性质判断①、②，根据函数的单调性判断③，根据指数的运算法则和基本不等式判断④．
【解答】解：∵点（2，9）在函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）图象上，
∴a2＝9，解得：a＝3，
∴f（x）＝3x，
∴①f（x1+x2）＝＝•＝f（x1）•f（x2），故①正确；
②f（x1•x2）＝≠f（x1）+f（x2），故②错误；
③a＝3＞1，f（x）在R递增，故＞0，故③错误；
④＝≥＝＝f（）
故④正确；
故答案为：①④．
【知识点】指数函数的图象与性质
4.若函数y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny＝1（m，n＞0）上，则的最小值为　　　　　　　　，
【分析】令幂指数等于零，求出xy的值，可得定点A的坐标，再把A的坐标代入直线方程，利用基本不等式，求得的最小值．
【解答】解：对于函数y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1），令x﹣1＝0，求得x＝1、y＝2，可得函数的图象恒过定点A（1，2），
若点A在直线mx+ny＝1（m，n＞0）上，则 m+2n＝1，
故 ＝+＝3++≥3+2＝3+2，
当且仅当m＝n时，等号成立，故的最小值为3+2，
故答案为：3+2．
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
知识点2:对数函数
例1.若函数f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（　　）
A．[，1） B．（0，] C．（1，） D．[）
【答案】B
【分析】先将函数f（x）＝loga（2﹣ax）转化为y＝logat，t＝2﹣ax，两个基本函数，再利用