人教版2021届高考二轮精品专题二 平面向量与复数 教师版.docx

2017年高考“最后三十天”专题透析
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专题 2
××
平面向量与复数
命题趋势
1．平面向量
平面向量是高考的重点和热点，在选择题、填空题、解答题中均有出现．选择题、填空题主要考查平面向量的基本运算，难度中等偏低；解答题中常与三角函数、直线与圆锥曲线的位置关系问题相结合，通常涉及向量共线与数量积．
2．复数
复数的考查主要为复数的运算、复数的几何意义、复数概念的考查．
考点清单
一、平面向量
1．平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．
其中，不共线的非零向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设，，则，，
，．
3．平面向量共线的坐标表示
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设，，其中，．
4．平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量叫做向量a和b的数量积，
记作a⋅b=|a||b|cosθ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）投影：叫做向量a在b方向上的投影．
（3）数量积的坐标运算：设向量，，
则①
②
③
④
5．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为ΔABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，
则：O为ΔABC内心⇔aOA+bOB+cOC=0
O为ΔABC外心
O为ΔABC重心OA+OB+OC=0
（4）O为ΔABC垂心OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA
二、复数
1．形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示．
全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母C表示．其中a，b分别叫做复数a+bi的实部与虚部．
2．复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c且b=d．
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特别地，a+bi=0⇔a=0，b=0．
两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小．
3．复数的分类
复数a+bi(a，b∈R)，b=0时为实数；b≠0时为虚数，a=0，b≠0时为纯虚数，
即复数（a+bi，a，b∈R）．
4．复平面
直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z=a+bⅈ对应复平面内的点za，b．
5．共轭复数
（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z的共轭复数用z表示，即如果z=a+bi，那么z=a−bi(a，b∈R)．
（2）共轭复数的性质
①z∈R⇔z=z；②非零复数z是纯虚数⇔z+z=0；③z+z=2a，z−z=2bi；④z1±z2=z1±z2；z1⋅z2=z1⋅z2；．
（3）两个共轭复数的积
两个共轭复数z，z的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即z⋅z=|z|2=|z|2．
6．复数的模
向量OZ的模r叫做复数z=a+bi(a，b∈R)的模(或长度)，记作|z|或|a+bi|．
由模的定义可知|z|=|a+bi|=r=a2+b2（显然r≥0，r∈R）．
当b=0时，复数a+bi表示实数a，此时r=a2=|a|．
7．复数的加法与减法
两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，
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即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a，b，c，d∈R)．
8．复数的乘法
（1）复数的乘法法则
复数乘法按多项式乘法法则进行，设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，
则它们的积z1⋅z2=(a+bi)⋅(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i．
（2）复数乘法的运算律
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．对任何z1，z2，z3∈C，
有①z1⋅z2=z2⋅z1 (交换律)；
②(z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3) (结合律)；
③z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (分配律