人教版第29讲 抛物线（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第29讲 抛物线
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知识梳理
1.抛物线的定义
(1)一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
考点和典型例题
1、抛物线的定义和标准方程
【典例1-1】过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（       ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】
如图所示，设，，
因为，所以点到准线的距离为3，
所以，得，
因为，
所以，
所以，得，
所以的值为，
故选：C
【典例1-2】抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（       ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】
由题意知，焦点坐标为，准线方程为，
由到焦点距离等于到准线距离，得，则，
，可得，
故选：A.
【典例1-3】已知抛物线上的一点到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】
由题可知，抛物线准线，可得，解得，
所以该抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：A.
【典例1-4】焦点在直线上的抛物线的标准方程为（       ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【详解】
解：直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），
当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为，
当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为，
故选：B
【典例1-5】已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
方程可化为，
所以直线恒过定点，
因为抛物线：的焦点坐标为，
所以，即，
所以，
过点作准线，垂足为，则，
过点作准线，垂足为，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为3，
故选：C.
2、抛物线的几何性质及应用
【典例2-1】对抛物线，下列描述正确的是（       ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【详解】
由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
【典例2-2】已知过点的直线与抛物线相交于，两点，点，若直线，的斜率分别为，，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
因为过点的直线与抛物线相交于，两点，
所以可设，，直线的方程为：，
由得，因此，，
且，
又直线，的斜率分别为，，点，
所以，，
因此，
当时，；
当时，，
且，
当且仅当，即时，等号成立；
所以；
当时，，
且，
当且仅当，即时，等号成立；
所以，
综上.
故选：C.
【典例2-3】抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：如图，
可得圆心也是抛物线的焦点，
过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得
故的周长，
由可得，.
的取值范围为
的周长的取值范围为
故选：.
【典例2-4】已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（       ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【详解】
因为圆与抛物线相交于M，N，且，
由对称性，不妨设，
代入抛物线方程，则，解得，
所以，
故
故选：B
【典例2-5】已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（       ）