人教高中数学第06讲 双曲线 (精练）（教师版）.docx

第06讲 双曲线 (精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：设动点，则，
则，，，
直线与直线的斜率之积为定值，
，化简可得，，
故点的轨迹方程为.
故选：C.
2．已知双曲线的右焦点为F，则点F到双曲线的一条渐近线的距离为（       ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
由题意得，
所以双曲线的渐近线方程为，不妨取，即，
又因为右焦点，
所以点F到一条渐近线的距离.
故选：C
3．已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（       ）
A．2 B． C．2或 D．或
【答案】C
由题设，渐近线与x轴夹角可能为30°或60°，
当，则，故；
当，则，故；
所以双曲线的离心率为2或.
故选：C
4．若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
设双曲线、椭圆的焦距分别为、，离心率分别为、，
则，可得，
所以，椭圆的焦点在轴上，则.
故选：C.
5．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为坐标原点，若为的中点，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
是中点，设是双曲线的右焦点，如图，
则，．所以，
由双曲线定义知，所以，从而，
因为是圆切线，所以，
所以，所以．
故选：B．
6．设分别是双曲线的左､右焦点，过作轴的垂线与交于两点，若为正三角形，则（       ）
A． B．的焦距为
C．的离心率为 D．的面积为
【答案】A
由题可得，
所以
所以双曲线定义可得，解得，
则，解得，故A对B错；
所以，C错误；，D错误.
故选：A
7．设点是双曲线的左､右两焦点，点是的右支上的任意一点，若，则的值可能是（       ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
设则，由题可知，
∴，又，
∴，可得，
∴，即，
∴，
∴，又.
故选：B.
8．已知是双曲线（）的右焦点，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上的动点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
∵ 点在双曲线上，
∴ ，又
∴ ，
∴ 双曲线的方程为，
∵ 是双曲线（）的右焦点，
∴ 点的坐标为，
∴ 直线的方程为，
∴ 点的坐标为，
∴ 点为线段的中点，
∴   ,
∴ ，又，
∴ ，
∵ 为双曲线左支上的动点，由双曲线的性质可得，
∴ ，
∴ 的最小值为-40，
故选：B.
二、多选题
9．双曲：与：（且）的（       ）
A．顶点相同 B．焦点相同
C．离心率相同 D．渐近线相同
【答案】CD
由：，又因为且，所以，顶点不同，A错，对：，，渐近线为，
对：，，渐近线为，
由此判断B错，CD正确.
故选：CD
10．已知双曲线C：(a>0，b>0)与直线y=kx交于A，B两点，点P为C上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，C的左、右焦点分别为F1，F2．若kPAkPB=，且C的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（       ）
A．a=2
B．C的离心率为
C．若PF1⊥PF2，则PF1F2的面积为1
D．若PF1F2的面积为，则PF1F2为钝角三角形
【答案】ACD
设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，
则，且，两式相减得，
所以，因为，所以，即，
故双曲线C的渐近线方程，因为焦点(c，0)到渐近线的距离为1，
所以，，所以，，离心率为，故A正确，B错误．
对于C，不妨设P在右支上， 记 则
因为 ， 所以，解得或 (舍去）， 所以的面积为，故C正确；
对于D，设P(x0，y0)，因为，所以，
将带入C：，得，即,
由于对称性，不妨取P得坐标为(，2)，则，
，因为
所以∠PF2F1为钝角，所以PF1F2为钝角三角形，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
11．已知、是等轴双曲线的左、右焦点，点在上，，则等于___________.
【答案】
解：∵双曲线的方程为：，∴，得，
由此可得、，焦距，
∵，∴，
即，①
又∵点在双曲线上，∴，
平方得，②
① ②，得，
故答案为：.
12．已知，分别为双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C的左右两支分别交于
A，