人教高中数学第7讲 分布列与数学期望（解析版）.docx

第7讲 分布列与数学期望
高考预测一：求概率及随机变量的分布列的基本类型
类型一：利用古典概型求概率
1．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为型号，型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表
手机店
型号手机销量
6
6
13
8
11
型号手机销量
12
9
13
6
4
（Ⅰ）若在10月1日当天，从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率；
（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅲ）经测算，型号手机的销售成本（百元）与销量（部满足关系．若表中型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值．（用表示，结论不要求证明）
【解析】解：设事件为从店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为型号手机，
设事件为从店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为型号手机，
则事件，相互独立，且，，
抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率为．
由表格可知型号手机销售量超过型号手机的店有2个，故的可能取值有0，1，2．
且，，．
的分布列为：
0
1
2
数学期望为．
，，
．
2．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成如图，其中“”表示服药者，“”表示未服药者．
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标的值小于60的概率；
（2）从图中，，，四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望；
（3）试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小．（只需写出结论）
【解析】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标的值小于60，
答：从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：
．
（2）由图知：、两人指标的值大于1.7，而、两人则小于1.7，
可知在四人中随机选项出的2人中指标的值大于1.7的人数的可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列如下：

0
1
2




答：．
（3）答：由图知100名患者中服药者指标数据的方差比未服药者指标数据的方差大．
3．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和数学期望．
【解析】解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，
则（A）；
（2）的可能取值为200，300，400，
，
，
；
所以的分布列为：

200
300
400



数学期望为．
类型二：利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率
4．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“”表示第类电影得到人们喜欢．“”表示第类电影没有得到人们喜欢，2，3，4，5，．写出方差，，，，，的大小关系．
【解析】解：（Ⅰ）设事件表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，
总的电影部数为部，
第四类电影中获得好评的电影有：部，
从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：
（A）．
（Ⅱ）设事件表示“从第四类电影和