人教高中数学第7章 §7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系.docx

§7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系
考试要求　1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
知识梳理
1．平面
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
4．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
5．空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
6．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
7．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　×　)
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　√　)
(3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．(　×　)
(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(　×　)
教材改编题
1．(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是(　　)
A．AB与CD是异面直线
B．GH与CD相交
C．EF∥CD
D．EF与AB异面
答案　ABC
解析　把展开图还原成正方体，如图所示．
还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错．
2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β．且α∥β，则a与b(　　)
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
答案　D
解析　α∥β，说明a与b无公共点，
∴a与b可能平行也可能是异面直线．
3．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
答案　(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD
解析　(1)∵四边形EFGH为菱形，
∴EF＝EH，
∵EF綉AC，EH綉BD，
∴AC＝BD．
(2)∵四边形EFGH为正方形，
∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF綉AC，EH綉BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD．
题型一　基本事实应用
例1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明　(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥A1B，且EF＝A1B．
又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，
∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F，
即E，C，D1，F四点共面．
(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1，
∴四边形CD1FE是梯形，
∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则P∈CE，且P∈D1F，
∵CE⊂平面ABCD，D1F⊂平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1．
又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
∴P∈AD，
∴CE，D1F，DA三线共点．
教师备选
如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
证明　(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，
∴EF∥B1D1．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
∴EF∥BD．
∴EF，BD确定一个平面，即D，B