人教高中数学第08讲 拓展一：空间几何体内接球与外接球问题 (讲）（教师版）.docx

第08讲 拓展一：空间几何体内接球与外接球问题 (精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
高频考点一：空间几何体的内切球问题
高频考点二：空间几何体的外接球问题
模型1：长（正）方体模型——公式法
模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）
模型3：单面定球心法（定+算）
模型4：双面定球心法（两次单面定球心）
第一部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：空间几何体的内切球问题
建立模型
球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：
即：，可求出.
典型例题
例题1．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期末）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为平面，平面，平面，平面，
所以，，，
又，
所以平面，所以，
所以均为直角三角形，
设球的半径为r，则，
而，，
所以，解得，
所以球的表面积为，
故选：A.
例题2．（2022·全国·高一）某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________.
【答案】         
解：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为的中心，
因为，所以内切圆的半径，
即内切球的半径，所以内切球的表面积，
又正三棱柱的高，
所以，所以，
所以到球面上的点的距离最小值为；
故答案为：；
例题3．（2022·全国·高一专题练****如图，直三棱柱有外接圆柱，点，分别在棱和上，.
(1)若，且三棱柱有一个内切球，求三棱柱的体积；
【答案】(1)
(1)，是圆柱的上下底面圆心，而且点，分别在棱和上，由此可知是为斜边的直角三角形. ,
设的内切圆的半径为，则由等面积法，可知:,，故三棱柱的内切球的半径也是，故三棱柱的高，进而三棱柱的体积.
题型归类练
1．（2022·全国·高一）已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：设直三棱柱的高为h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，内切球O的半径为r，则h＝2r，
由题意可知球O的表面积为，解得r＝2，∴h＝4，
又△ABC的周长为4，即a＋b＋c＝4，
∴连接OA，OB，OC，可将直三棱柱分成5个棱锥，
即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，
两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，
∴由体积相等可得直三棱柱的体积为h＝ahr＋bhr＋chr＋2×r，
即4＝（a＋b＋c）hr＋，∴＝，
∴三棱锥的体积为h＝×4×4＝．
故选：B．
2．（2022·湖南·高一期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.
【答案】
有题意可知，，所以
所以，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，
所以，
所以该圆锥的内切球的表面积为.
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练****文））若正四棱锥内接于球，且底面过球心，则球的半径与正四棱锥内切球的半径之比为__________.
【答案】##
设外接球半径为R，由题意可知，OA=OB=OC=OD=OP=R，
设四棱锥P-ABCD的内切球半径为r，设正方形的边长为，
因为底面过球心，所以有，
该正四棱锥的各侧面的高为，
设该正四棱锥的表面积为，
由等体积法可知：
，
故答案为：
4．（2022·广西玉林·模拟预测（理））若正四棱锥内接于球O，且底面过球心O，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为_________．
【答案】
因为正四棱锥内接于球O，且底面过球心O，球的半径为4，
所以，
所以，
所以正四棱锥的表面积为，
正四棱锥的体积为
设正四棱锥内切球的半径为，则
，
解得，
所以该四棱锥内切球的体积为，
故答案为：
高频考点二：空间几何体的外接球问题
模型1：长（正）方体模型——公式法
建立模型
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
（