人教高中数学第9讲　第1课时　直线与圆锥曲线.doc

第1课时　直线与圆锥曲线
一、选择题
1.过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)
A.有且只有一条 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有且只有四条
解析　∵通径2p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝3＞2p，故这样的直线有且只有两条.
答案　B
2.直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是(　　)
A.1 B.2 C.1或2 D.0
解析　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点.
答案　A
3.经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于(　　)
A.－3 B.－
C.－或－3 D.±
解析　依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.
答案　B
4.抛物线y＝x2到直线x－y－2＝0的最短距离为(　　)
A. B.
C.2 D.
解析　设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝＝＝，∴x＝时， dmin＝.
答案　B
5.(2017·石家庄调研)椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)
A. B. C. D.
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB中点M(x0，y0)，
由题设kOM＝＝.
由得＝－.
又＝－1，＝＝.
所以＝.
答案　A
二、填空题
6.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________.
解析　由题意得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案　＋＝1
7.已知抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线所得的弦长等于________.
解析　由题设知p＝＝2，∴a＝.
抛物线方程为y＝x2，焦点为F(0，1)，准线为y＝－1.
联立消去x，
整理得y2－6y＋1＝0，∴y1＋y2＝6，∵直线过焦点F，
∴所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝8.
答案　8
8.过椭圆＋＝1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________.
解析　设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由于A，B两点均在椭圆上，
故＋＝1，＋＝1，
两式相减得
＋＝0.
又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴kAB＝＝－.
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3).
即3x＋4y－13＝0.
答案　3x＋4y－13＝0
三、解答题
9.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.
(1)求E的离心率；