人教高中数学第10讲 函数的图像（解析版）.docx

第10讲函数的图像
【基础知识网络图】
函数的图像
图像与性质、图像变换
幂指对函数
二分法
二次函数
【基础知识全通关】
知识点01：一元二次方程的根与函数图像的关系
1. 当时，二次方程（）的根的个数可以用判别式与0的关系进行判断；
2. 二次方程（）的根、与系数的关系：，；
3.二次方程（）的根的分布：结合（）的图象可以得到一系列有关的结论（可以转化为）：
（1）方程的两根中一根比大，另一根比小.
（2）二次方程的两根都大于
（3）二次方程在区间内有两根
（4）二次方程在区间内只有一根，或而另一根在内，或而另一根在内.
（5）方程的一根比小且一根比大（）
知识点02：零点
1. 函数的零点
(1) 一般地，如果函数在实数a处的值为0，即，则a叫做这个函数的零点．
(2) 对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：
① 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变；
② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。
(3)函数零点的性质是研究方程根的分布问题的基础，是通过对二次函数的零点的研究而推出的．是由特殊到一般的思想方法。
2.二分法
(1) 已知函数在区间[a，b]上连续的，且，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点的近似值的方法，叫做二分法。
(2)二分法定义的基础，是函数零点的性质；二分法定义本身给出了求函数零点近似值的步骤．只要按步就班地做下去，就能求出给定精确度的函数零点．
（3）二分法求函数零点的近似值的步骤，渗透了算法思想与程序化意识．此步骤本身就是一个解题程序。这种程序化思想在计算机上得到了广泛的应用．
知识点03：函数模型
常用的几类函数模型
(1)一次函数模型：；
(2)反比例函数模型：；
(3)二次函数模型：；
(4)指数函数模型：；
(5)对数函数模型：；
(6)幂函数模型：。
知识点04：图象变换
（一） 函数图象
1.作图方法：
以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．
2.作函数图象的步骤：
①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；
③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）、特殊点（如：零点、极值点、与轴的交点）；
④描点连线，画出函数的图象。
（二） 图象变换
图象变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。
（1）平移变换（左加右减，上加下减）
把函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，
把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，
把函数的图像向上平移个单位，得到函数的图像，
把函数的图像向下平移个单位，得到函数的图像。
（2）伸缩变换
①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得 (0<<1)
②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得 (>1)
③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得 (>1)
④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得 (0<<1)
（3）对称变换：
①函数和函数的图像关于轴对称
函数和函数的图像关于轴对称
函数和函数的图像关于原点对称
函数和函数的图像关于直线对称
简单地记为：轴对称要变，轴对称要变，原点对称都要变。
②对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是
（4）翻折变换：
①把函数y=f(x)图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到轴上方，得到函数
的图像；
②保留轴右边的图像，擦去左边的图像，再把右边的图像对称翻折到左边，得到函数的图像。
【考点研****一点通】
考点01：图象变换
【典例1】1．由函数的图象，通过怎样的图象变换，可以作出的图象？
【解析】∵，
∴要得到的图象，需要把的图象经过以下的变换才能得到：
即.
【总结】作函数图象的基本方法有两种：
(1)描点法 ；
(2)图象变换法：利用基本初等函数变换作图，其中掌握好(1)平移变换，(2) 对称变换， (3) 伸缩变换。
【典例2】（2022·浙江绍兴市·高三三模）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】