人教高中数学第10讲 空间向量（解析版）.docx

第10讲 空间向量
高考预测一：线线角、线面角、二面角、距离问题
1．如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求与平面成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明：底面，
，
又，，
平面，
平面，
．
为的中点，，
．
．
平面；
（2）由题意建立如图所示的空间直角坐标系．，0，，，2，，，2，，，0，，，1，，．
，1，，，2，，．
设平面的法向量为，，，则，取，，．
设与平面成角为，
则．
（3）假设在线段上存在点，使得平面．
设，，2，，
．
，
平面，平面的法向量为，0，，
，解得．
点是靠近点的四等分点．
2．如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且．
（1）求证：平面；
（2）求多面体的体积；
（3）求二面角的平面角的余弦值．
【解析】解：（1）证明：
，为的中点．
又，平面
又，
面．
（2）棱锥
（3）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．
则，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，0，
设是面的一个法向量，
则由得
可取，1，
同理设是面的一个法向量，
且，，，0，
则由
得
取
二面角为锐二面角，所以其平面角的余弦值为．
3．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．
【解析】解：证明：在梯形中，
，，，
平面平面，平面平面，平面
平面
由可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示空间直角坐标系，
令，则，，1，，，0，
设为平面的一个法向量，
由得
取，则，
是平面的一个法向量
当时，有最小值，
当时，有最大值．
．
4．如图，在几何体中，底面是平行四边形，，，，，，平面，与交于点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若平面 与平面 所成的锐二面角余弦值为，求线段的长度．
【解析】（Ⅰ）证明：取的中点，连接，．
又点为的中点，
，又，，．
．
四边形为平行四边形，
．
又平面，平面，
平面；
（Ⅱ）解：，，，
．
，．
又平面，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
可得：，0，，，，，，0，，，0，，，，，
，，，，0，，，1，，，，．
设平面的法向量为，，，则，
可得：，取，，．
设平面的法向量为，，，则，
可得：，取，，．
平面 与平面 所成的锐二面角余弦值为，
，
解得或．
由平面 与平面 所成二面角为锐二面角，因此取．
5．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，为的中点，平面平面．
求与成角的余弦值
（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；
（Ⅲ）在棱上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由
【解析】解：取的中点，连接，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面；
如图所示，以为原点，所在的直线为轴，
在平面内过垂直于的直线为轴，
所在的直线为轴，建立空间直角坐标系；
由直角梯形中，，
可得，0，，，1，，，2，，
，0，，，0，，
，2，，，0，；
，，
与成角的余弦值为；
（Ⅱ）由，，，，1，，
设平面的法向量为，，，
，
即，
令，得，，；
取平面的一个法向量，1，；
，，
平面与平面所成的锐二面角为；
（Ⅲ）设，则，0，，，0，，
若平面，则，解得，
即时，满足平面．
6．如图，三棱柱中，侧面为的菱形，．
（1）证明：平面平面．
（2）若，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】证明：（1）连接交于，连接，
侧面为菱形，，
，为的中点，
又，平面
平面平面平面．
（2）由，，，平面，平面，
从而，，，两两互相垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
直线与平面所成的角为，，
设，则，又，是边长为2的等边三角形
，0，，，0，，，1，，，，，
，，，
设是平面的法向量，则，
令，
设直线与平面所成的角为．
则．
直线与平面所成角的正弦值为．
7．如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形