人教高中数学第13讲 解析几何中的定点定值最值问题（解析版）.docx

第13讲 解析几何中的定点定值最值问题
高考预测一：最值问题
类型一：弦长或面积问题
1．如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．
（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）抛物线的焦点在抛物线上，
即有，可得，
即有的方程为，
其准线方程为．
（Ⅱ）设，，，，，
，，
的导数为，直线的斜率为，直线的斜率为，
则切线的方程：，
即，又，所以，
同理切线的方程为，
又和都过点，所以，
所以直线的方程为．
联立得，
所以，，
所以．
点到直线的距离．
所以的面积，
所以当时，取最小值为2．即面积的最小值为2．
2．已知椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两个不同的点，，求面积的最大值为坐标原点）
【解析】解：（1）椭圆经过点，且离心率为．
，且，
解得，，
椭圆的方程为．
（2）联立，得，
△，即，
设，，，，则，，
，
到直线的距离，
面积：
．
设，则，
由，得或，
当时，面积取最大值．
3．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不与坐标轴平行的直线交椭圆于，两点，，记直线在轴上的截距为，
求的最大值．
【解析】解：（1）由题意可知：，则，
将代入椭圆方程：，解得：，则，
椭圆的方程：；
（2）设直线的方程为，设，，，，
，整理得：，
由△，解得：，
，，
则，
，解得：，，，则，则，
则，即，
当且仅当，即时，上式取等号，此时，则，满足，
的最大值为．
4．已知椭圆经过点，且一个焦点为．过点作圆的切线交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）将表示为的函数，并求的最大值．
【解析】解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为
椭圆经过点，且一个焦点为．
，
，
椭圆的方程为；
（Ⅱ）由题意知，
当时，切线的方程为，此时；
当时，设为，代入椭圆方程可得
设、的坐标分别为，，，，则，
与圆相切，，即
（当且仅当时取等号）
的最大值为2．
5．已知椭圆的离心率为，且过点，．椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的最小值．
【解析】解：（1）由，求得，
将点，代入椭圆方程可得．
解得，．
椭圆的标准方程：．
（2）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，
代入椭圆方程，并化简得．
设，，，，则，
因为与相交于点，且的斜率为，所以，．
四边形的面积，
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
6．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．
（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；
（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）证明：圆即为，
可得圆心，半径，
由，可得，
由，可得，
即为，即有，则，
故的轨迹为以，为焦点的椭圆，
且有，即，，，
则点的轨迹方程为；
（Ⅱ）椭圆，设直线，
由，设，
由可得，
设，，，，
可得，，
则
，
到的距离为，
，
则四边形面积为
，
当时，取得最小值12，又，可得，
即有四边形面积的取值范围是，．
7．已知椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点、在椭圆上，且四边形是矩形，求矩形的面积的最大值
【解析】解：（1）由题意可得，解得，，
故椭圆的方程为．
（2）由题意知直线不垂直于轴时，可设直线，
由，得，△，
设，，，，则，，
又，，
，
，，
设，，则，
，
令，，
在，上单调递增，
设直线与轴交于点，
矩形面积
矩形面积 的最大值为，此时直线．
类型二：涉及坐标、向量数量积等问题
8．已知椭圆的左焦点为，为坐标原点．
求过点、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．
【解析】解：，，
，，．
圆过点、，
圆心在直线上．
设，则圆半径．
由，得，
解得．
所求圆的方程为．
设直线的方程为，