人教高中数学第13讲 拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用 (精讲）（教师版）.docx

第13讲 拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：利用超越不等式比较大小
高频考点二：利用对数型超越放缩证明不等式
高频考点三：利用指数型超越放缩证明不等式
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、泰勒公式形式：
泰勒公式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法.
若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，成立下式：
其中：表示在处的阶导数，等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小量.
2、麦克劳林(Maclaurin)公式
虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.
3、常见函数的麦克劳林展开式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）
4.1对数型超越放缩：（）
上式（1）中等号右边只取第一项得：结论①
用替换上式结论①中的得：结论②
对于结论②左右两边同乘“”得，用替换“”得：
（）结论③
4.2指数型超越放缩：（）
上式（2）中等号右边只取前2项得：结论①
用替换上式结论①中的得：结论②
当时，对于上式结论②结论③
当时，对于上式结论②结论④
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：利用超越不等式比较大小
1．（2022·全国·高三专题练****文））已知，则的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
先用导数证明这两个重要的不等式
①，当且仅当时取“=”
，函数递减， 函数递增
故时函数取得最小值为0
故，当且仅当时取“=”
②，当且仅当时取“=”
，函数递增，函数递减，
故时函数取得最大值为0，
故，当且仅当时取“=”
故
故选：C
2．（2021·安徽·毛坦厂中学高三阶段练****理））设，，，（其中自然对数的底数）则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
构造函数，，，所以在上递增，在上递减，所以，即.
令，则，，，考虑到，可得，即，化简得等号当且仅当时取到，故时，排除A，B.下面比较a，b大小，由得，，故.所以.
故选:D
3．（2022·全国·高三专题练****已知实数a，b，c满足，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，即，
所以，所以，即，
又，所以，由，所以，
所以，即，所以，所以.
故选：A.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是利用经典不等式可得.
4．（2022·河南洛阳·高二期末（文））下列结论中正确的个数为（       ）
①，；②；③．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】
解：令，，则，所以在上单调递增，所以，即，即，，故①正确；
令，，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立，所以，故②正确；
令，，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，当且仅当时取等号，故③错误；
故选：C
5．（2021·浙江·模拟预测）已知数列满足，给出以下结论，正确的个数是（       ）
①；②；③存在无穷多个,使；④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】
，,，则单调递增且大于0， 所以单调递增，所以 ，即故①正确；
令，则，所以在上单调递增，且当且仅当时，，所以，即.因为，且，，故②正确；
，，，由归纳法可知，，故不存在无穷多个,使，故③错误；
由得，，累加可得：可知④正确.
故选：B.
7．（2022·安徽·六安一中高二开学考试）已知成等比数列，且，若，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
设,则,
令,则,令,则,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,则,
即,
所以,
故,
又成等比数列,且,
设其公比为,则,即,
所以,
故选:A.
【点睛】
本题考查导数中的不等式在数列中的应用,以及等比数列的相关性质,属于中档题.导数中存在着一些常用的不等式结论,学生可以尽可能掌握.
高频考点二：利用对数型超越放缩证明不等式
1．（2022·全国·高三专题练****已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－.