人教高中数学第16讲 含参单调性讨论、极值和最值（解析版）.docx

第16讲 含参单调性讨论、极值和最值
高考预测一：含参单调性讨论
1．设函数，其中，求的单调区间．
【解析】解：由已知得函数的定义域为，且，
（1）当时，，函数在上单调递减，
（2）当时，由，解得．、随的变化情况如下表
0
极小值
从上表可知
当时，，函数在上单调递减．
当时，，函数在上单调递增．
综上所述：
当时，函数在上单调递减．
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增．
2．已知函数，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若在处的切线斜率为1．
①设（其中为正常数），求函数的最小值；
②若，，证明：．
【解析】解：（Ⅰ）：，，
，
当时，恒成立，故在上单调递增，
当时，令，解得或，
当时，令，即时，函数单调递增，
令，即时，函数单调递减，
当时，令，即时，函数单调递增，
令，即时，函数单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在，上单调递减，
（Ⅱ）在处的切线斜率为1，
（1），
解得，
，
①，，
，
令，解得，
当，即，函数单调递增，
当，即，函数单调递减，
②不妨设，令，
，，
，
令，解得，
当，即，函数单调递增，
当，即，函数单调递减，
，
．
3．设函数，曲线在点，（2）处的切线方程为，
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求的单调区间．
【解析】解：（Ⅰ）在点，（2）处的切线方程为，
当时，，即（2），
同时（2），
，
，
则，
即，；
（Ⅱ），；
，
，
，
与同号，
令，
则，
由，得，此时为减函数，
由，得，此时为增函数，
则当时，取得极小值也是最小值（1），
则（1），
故，即的单调区间是，无递减区间．
4．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对于任意的，，都有成立，求正整数的最大值．
【解析】解：（1），
①时，恒成立，
在上单调递增，
②当时，，令，解得，
当时，，函数在，上单调递增，
当时，，函数在，上单调递减，
③当时，，令，解得，
当，函数上单调递增，
当，函数上单调递减，
（2）对任意的，，成立，
即 成立，
即 恒成立，
△，
即，
令，
令，
在上单调递增，
又，，
在上有唯一零点，
且，
当时，，为减函数，
当，时，，为增函数，
，
，
，
恒成立，
，且是正整数，
或，
的最大值为2．
5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解析】解：（1）由，求导，
当时，，
当，单调递减，
当时，，
令，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
时，单调递减，，单调递增；
当时，，恒成立，
当，单调递减，
综上可知：当时，在单调减函数，
当时，在是减函数，在，是增函数；
（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，
当时，，
当时，，，
当时，，
当，，且远远大于和，
当，，
函数有两个零点，的最小值小于0即可，
由在是减函数，在，是增函数，
，
，即，
设，则，，
求导，由（1），
，解得：，
的取值范围．
方法二：（1）由，求导，
当时，，
当，单调递减，
当时，，
令，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
时，单调递减，单调递增；
当时，，恒成立，
当，单调递减，
综上可知：当时，在单调减函数，
当时，在是减函数，在是增函数；
（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，
②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，
当，时，，故只有一个零点，
当时，由，即，
故没有零点，
当时，，，
由，
故在有一个零点，
假设存在正整数，满足，则，
由，
因此在有一个零点．
的取值范围．
6．已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）．
令，得，
当时，随的变化情况如下：
0
0
递增
递减
0
递增
所以，的单调递增区间是，和，单调递减区间是；
当时，随的变化情况如下：
0
0
递减
0
递增
递减
所以，的单调递减区间是，和，单调递增区间是；
（Ⅱ）当时，有，不合题意，
当时，由知在上的最大值是，