人教高中数学第32讲 复数（解析版）.docx

第32讲 复数
【基础知识全通关】
一、复数的有关概念
1.虚数单位:
（1）它的平方等于，即；
（2）与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；
（4）的周期性：，，，（）.
2. 概念
形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。
说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。
3.复数集
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示；复数集与其它数集之间的关系：
4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：
对于复数（），
当且仅当时，复数是实数；
当且仅当时，复数叫做虚数；
当且仅当且时，复数叫做纯虚数；
当且仅当时，复数就是实数0.
所以复数的分类如下:
（）
5.复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：
如果，那么.
特别地: .
应当理解:
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。　
6.共轭复数：
两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：
复数和（）互为共轭复数。
二：复数的代数表示法及其四则运算
1.复数的代数形式:
复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。
2.四则运算
；
；
复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：。
三：复数的几何意义
1. 复平面、实轴、虚轴：
点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数。
对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
2.复数的几何表示
（1）坐标表示:在复平面内以点表示复数（）；
（2）向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数.
向量的长度叫做复数的模，记作.即.
【微点拨】
（1）向量与点以及复数有一一对应；
（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。
3.复数加法的几何意义：
如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量。
4.复数减法的几何意义：
两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
【微点拨】
1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；
2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；
3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；
4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。
【考点研****一点通】
考点一：复数的有关概念
【例1】设复数，试求实数取何值时，复数分别满足：
(1)是纯虚数； (2)对应的点位于复平面的第二象限。
【点拨】利用复数的有关概念易求得。
【答案】
(1)当即时，复数是纯虚数；
(2)当即或时，复数对应的点位于复平面的第二象限.
【总结】复****中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如：
()；是纯虚数（）；
【变式1-1】实数m取什么数值时，复数分别是：
实数？ (2)虚数? (3)纯虚数？ (4)表示复数的点在复平面的第四象限?
【点拨】利用复数的有关概念易求得。
【解析】
(1)当即或时，复数为实数.
当时即或时，复数为虚数.
当即时，复数为纯虚数.
当时即时，表示复数的点在复平面的第四象限.
【总结】复****中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如：
()；是纯虚数（）；
【变式1-2】求当实数取何值时，复数分别是：
（1）实数； （2）虚数； （3）纯