人教高中数学第六讲基本初等函数解析版.docx

第六讲：基本初等函数
【考点梳理】
1．幂函数的概念
一般地，形如()的函数称为幂函数，其中底数为自变量，为常数.
2．几个常见幂函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
过定点
过定点
过定点
3．常用结论
(1)幂函数在上都有定义.
(2)幂函数的图象均过定点.
(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.
(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.
(5)幂函数在第四象限无图象.
4.根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：
①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
5.分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
6.指数幂的运算性质
①；
②；
③.
7.指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
底数
图象
性质
定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有；
当时，恒有
当时，恒有；
当时，恒有
在定义域上为增函数
在定义域上为减函数
注意
指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究
8.对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
9.对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
10.对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
图象
性质
定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数
在上是单调减函数
【典型题型讲解】
考点一：幂函数的定义及其图像
【典例例题】
例1．幂函数在上为增函数，则实数的值为（       ）
A． B．0或2 C．0 D．2
【答案】D
【详解】
因为是幂函数，所以，解得或，
当时，在上为减函数，不符合题意，
当时，在上为增函数，符合题意，
所以.
故选：D.
例2．已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ）
A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【详解】
因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数，
又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0，
又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.
故选：D
【方法技巧与总结】
1、5种特殊幂函数的图像及其性质；
2、幂函数的单调性及奇偶性的性质判断方法.
【变式训练】
1．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______．
【答案】．（答案不唯一）
【分析】利用幂函数的奇偶性、单调性得到指数满足的条件，再写出一个满足题意的幂函数即可.
【详解】设幂函数，
由题意，得为奇函数，且在定义域内单调递增，
所以（）或（是奇数，且互质），
所以满足上述条件的幂函数可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
2.已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为______.
【答案】
因为是幂函数，，解得或1，
当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递增，不符合