人教高中数学第五讲函数的单调性、奇偶性、周期性讲义解析版.docx

第五讲：函数的单调性、奇偶性、周期性
【考点梳理】
1．增函数与减函数
一般地，设函数的定义域为：
(1)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数．
(2)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数．
2．函数的最大值与最小值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1)对于任意的，都有；存在，使得，那么，我们称是函数的最大值．
(2)对于任意的，都有；存在，使得，那么我们称是函数的最小值．
3．函数单调性的两个等价结论
设则
(1)(或在上单调递增。
(2)(或⇔f(x)在上单调递减．
4．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果函数的定义域内任意一个
都有，那么函数是偶函数
关于对称
奇函数
如果函数的定义域内任意一个
都有，那么函数是奇函数
关于原点对称
5.奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内
(ⅰ)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数.
(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.
(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是奇函数.
(3)若是奇函数且处有意义，则.
6．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．
(3)常见结论：若，则；若，则；若，则.
【典型题型讲解】
考点一：函数的单调性
【典例例题】
例1.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（       ）
A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增
【答案】A
【详解】
由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.
故选：A.
【方法技巧与总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
【变式训练】
1.已知函数，若，则实数的取值范围是___.
【答案】
解：和在上都是单调递减，
在上单调递减，
由，可得，解得，即．
故答案为：
2.已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
不妨设，因为，
所以，
故是上的增函数，原不等式等价于，解得．
故选：B.
3．（2022·广东惠州·一模）已知，则当时，与的大小关系是（
    ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【详解】解：由函数，
得函数在上递增，在上递减，在上递增，
作出函数和的图像，如图所示，
令，得或，
结合图像可知，当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
综上所述，当时，.
故选：B.
4.“”是“函数是在上的单调函数”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
依题意，函数是在上的单调函数，
由于在上递增，所以在上递增，
所以且，即.
所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件.
故选：B
5．已知函数若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为R，有，即，
即与同号，所以在R上单调递增，
即在上单调递增，则，故；
因为在处的切线方程为，即，
又，所以与没有公共点，
若函数仅有一个零点，
所以函数与图象仅有一个交点，
则与有且仅有1个公共点，且为，
所以在处的切线的斜率k大于等于1，
而，得，
即，解得，
综上，的取值范围为.
故选：C.
6．若函数是上的单调函数，则的取值范围（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在