人教高中数学第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 教案.doc

第八章 解析几何
第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
核心素养立意下的命题导向
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素，凸显直观想象的核心素养．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，凸显数学运算的核心素养．
3．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系，凸显数学抽象的核心素养．
[理清主干知识]
1．直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角
直线的斜率
定
义
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°
当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为kP1P2＝
区
别
直线l垂直于x轴时，直线l的倾斜角是90°；倾斜角的取值范围为[0，π)
直线l垂直于x轴时，直线l的斜率不存在；斜率k的取值范围为R
联
系
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系；
(2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大
2．直线方程的五种形式
形式
几何条件
方程
适用范围
点斜式
过一点(x0，y0)，斜率k
y－y0＝k(x－x0)
与x轴不垂直的直线
斜截式
纵截距b，斜率k
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
两点式
过两点(x1，y1)，(x2，y2)
＝
与x轴、y轴均不垂直的直线
截距式
横截距a，纵截距b
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面直角坐标系内所有直线
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(求倾斜角)直线x－y＋a＝0的倾斜角为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
答案：B
2．(点斜式方程)经过点P0(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为(　　)
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0
解析：选D　由点斜式得直线方程为y－(－3)＝tan 45°(x－2)＝x－2，即x－y－5＝0.
3．(斜截式方程)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
答案：D
4．(直线的斜率)过点M(－1，m)，N(m＋1,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
答案：1
二、易错点练清
1．(忽视倾斜角的范围)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪ D.∪
解析：选B　由直线方程可得该直线的斜率为－，又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是
.
2．(忽视斜率公式中x1≠x2)已知经过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)的直线l的倾斜角为135°，则m的值为________．
答案：
3．(忽视截距为0的情况)过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________________．
解析：①若直线过原点，则k＝－，
所以y＝－x，即4x＋3y＝0.
②若直线不过原点．设＋＝1，即x＋y＝a.
则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0.
答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
考点一　直线的倾斜角与斜率
[典例]　(1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
(2)(2021年1月新高考八省联考卷)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.
[解析]　(1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
因为α∈，所以≤cos α≤，
因此k＝2·cos α∈[1， ]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， ]．
又θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是.
(2)设一条边所在直线的倾斜角为α，由tan＝2，解得tan α＝，所以正方形两条邻边所在直线的斜率分别为，－3.
[答案]　(1)B　(2)　－3
[方法技巧]
1．求倾斜角的取值范围的一般步骤