人教高中数学解密01 集合（解析版）.docx

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解密01讲：集合
【考点解密】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
非负整数集
(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B或B A.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
并集
所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，
或x∈B}
A∪B
交集
所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，
且x∈B}
A∩B
补集
全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集
{x|x∈U，
且x∉A}
∁UA
【方法技巧】
集合基本运算的方法技巧：
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（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；
（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.
集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.
【核心题型】
题型一：元素与集合
1．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】计算出集合，在利用复数的四则运算化简各选项中的复数，即可得出合适的选项.
【详解】当时，，，，，则，
，，
，，
故选：B.
2．（2022·海南·模拟预测）已知集合，集合，则（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出集合，再根据集合中和，即可求出结果.
【详解】因为集合，所以，
在集合中，由，得，即，
又，所以，，，即.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练****理））已知集合，，且有个子集，则实数的取值范围为（    ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解对数不等式可求得集合，由子集个数可确定中元素仅有个，从而得到，由此得到的范围.
【详解】由题意得：，
有个子集，中的元素个数为个；
，，即，或，
即实数的取值范围为.
故选：D.
题型二：集合中元素的特性
4．（2023·全国·高三专题练****设集合， ，则集合元素的个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据集合B的描述，结合对数函数性质列举出元素即可.
【详解】当时，y＝1；
当时，y＝0；
当x＝3时，．
故集合B共有3个元素．
故选：B.
5．（2021·全国·高三专题练****文））已知集合，、、为非零实数 ，则的子集个数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分都是正数，都是负数，中有一个是正数，另两个是负数，中有两个是正数，另一个是负数四种情况分别得出m的值，从而求得集合M的元素的个数，由此可得出集合M的子集的个数.
【详解】因为集合，、、为非零实数 ，
所以当都是正数时，；
当都是负数时，；
当中有一个是正数，另两个是负数时，，
当中有两个是正数，另一个是负数时，，
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所以集合M中的元素是3个，所以的子集个数是8，
故选：D.
6．（2022·河南郑州·高三阶段练****理））定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（    ）
A．16 B．18 C．14 D．8
【答案】A
【分析】由题设，列举法写出集合，根据所得集合，加总所有元素即可.
【详解】由题设知：，
∴所有元素之和.
故选：A.
题型三：集合的表示方法
7．（2022·陕西·交大附中模拟）已知表示正整数集合，若集合，则中元素的个数为（    ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】D
【分析】根据集合描述的几何意义，列举出第一象限内符合要求的点