人教高中数学解密19 直线和圆（解析版）.docx

解密19 直线和圆
【考点解密】
1．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
2．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.
4圆的定义与方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方
程
标准式
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心为(a，b)
半径为r
一般式
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：
半径r＝
5．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．(最重要)
d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．
(2)代数法：
6．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)
方法
位置
关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|<d<r1＋r2
两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
【方法技巧】
处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
【核心题型】
题型一：待定系数法求直线方程
1．（2022·北京·统考模拟预测）已知圆，直线l过点且倾斜角为，则“直线l与圆C相切”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先化简“直线l与圆C相切”得到或者，再利用充分条件必要条件的定义判断得解.
【详解】当直线l没有斜率时，,与圆不相切.
当直线l有斜率时，设直线方程为，
由题得或者.
所以或者.
所以“直线l与圆C相切”成立，则“”不一定成立；“”成立，则“直线l与圆C相切”成立.
所以“直线l与圆C相切”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据互相垂直两直线斜率之间的关系、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】由，圆心坐标为，
由，所以直线的斜率为，
因此直线的垂直垂直平分线的斜率为，
所以直线的垂直垂直平分线方程为：，
故选：A
3．（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则直线l的方程是  （    ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】考虑直线斜率不存在和存在两种情况，验证后得到满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线距离公