人教高中数学考点18 函数模型及其运用（解析版）.docx

考点18 函数模型及其运用
【命题解读】
函数模型做为考查内容之一，涉及到一些常见的函数如一元二次函数、指数函数、对数函数等，考查中常见小题的形式出现。
【基础知识回顾】
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数
性质　　　
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化
而各有不同
2.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数
相关的模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数
相关的模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数
相关的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
3. 解函数应用题的步骤
第一步：阅读理解题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：引用数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模型．
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答．
1、 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为(C )
(参考数据lg2＝0.301 0，lg5＝0.699)
A. 10　　　　　　　　 B. 12　　　　　　　　　 C. 14　　　　　　　　 D. 16
【答案】C
【解析】　由题意可得(1－20%)n<5%.解得n>log0.80.05≈13.42，
故至少过滤14次．故选C.
2、 小孟进了一批水果，如果他以每千克1.2元的价格出售，那他就会赔4元，如果他以每千克1.5元的价格出售，一共可赚8元．现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为(B )
A. 1.1元　　　　　　 B. 1.3元　　　　　 C. 1.5元　　　　　　 D. 2.0元
【答案】B
【解析】　设共有水果x千克，则1.2x＋4＝1.5x－8，得x＝40，不赔不赚的价格为＝1.3元．
故选B.
3、下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是（ ）
A．一次函数模型 B．幂函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型．
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
【答案】：　A
【解析】：　根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．
4、某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是（ ）
A B C D
【答案】：　A
【解析】：　前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故①正确，③错误．
5、 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为（ ）m．
A．400 B．12 C．20 D．30
【答案】：　C
【解析】：　设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，0<<40，
解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，
当x＝20时，Smax＝400．
6、一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一