人教考向23 平面向量的概念及线性运算（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题.doc

考向23 平面向量的概念及线性运算
1．（2021·全国高考真题（文））已知向量，若，则_________．
【答案】
【分析】
利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】
由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
2．（2020·天津高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】
可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】
，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

1.解决向量的概念问题应关注以下七点：
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．
(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．
(6)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．
(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小
2.平面向量线性运算问题的求解策略：
(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；
②寻找相应的三角形或多边形；
③运用法则找关系；
④化简结果.
.
1.平面向量的相关概念
名称
定义
表示方法
注意事项
向量
既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量或；
平面向量是自由向量
模或
零向量
长度等于0的向量，方向是任意的
记作
零向量的方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
常用表示
非零向量的单位向量是
平行向量
方向相同或相反的非零向量
与共线可记为
与任一向量平行或共线
共线向量
平行向量又叫共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
的相反向量为
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb

【知识拓展】
共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.
共线向量定理的主要应用：
(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．

1．（2021·浙江高三其他模拟）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（2021·全国高三其他模拟（文））菱形中，点为中点，则（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若为平面向量，，则
B．若为平面向量，，则
C．若，，则在方向上的投影为
D．在中，M是AB的中点，＝3