人教版2021届大题优练7 圆锥曲线与面积有关的问题 教师版.docx

圆锥曲线与面积有关的问题
大题优练7
优选例题
例1．已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为的周长为，所以，
即．
又离心率，解得，，
．
∴椭圆的方程为．
（2）设，，，
将代入，
消去并整理得，
则，，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，得，
将点坐标代入椭圆方程得，
点到直线的距离为，，
∴平行四边形的面积为
，
故平行四边形的面积为定值为．
例2．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，上、下顶点分别为C，D，右焦点为F，离心率为，其中．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点的直线l与椭圆M交于E，H两点，记与的面积分别为和，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）有条件可知，∴，
又，，∴，
∴椭圆方程为．
（2）当直线l无斜率时，直线方程为，
此时，，；
当直线l斜率存在时，设直线方程为，
设，，
联立得，消掉y得，
显然，方程有根，，．
此时．
因为，所以，（时等号成立），
所以的最大值为．
例3．已知椭圆的左､右焦点分别是，，且离心率为，点为椭圆下上动点，面积的最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆的上顶点，直线交椭圆于点，过点的直线(直线的斜率不为1)与椭圆交于两点，点在点的上方．若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）面积的最，
又，所以，解得，
即，，
故椭圆C的标准方程为．
（2）由题可得直线的方程为，
联立，得，则，
因为，则，
得，
当直线的斜率为0时，不符合题意；
故设直线的方程为，，，
由点P在点Q的上方，则，
联立，得，
则，得，
则，得，，
又，则，不符合题意，
所以，
故直线的方程为．
模拟优练
1．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆与圆的公共点．
（1）求的方程；
（2）直线与交于，两点，点在上，且在这一段曲线上运动（异于端点与），求面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）联立，得，
因此的焦点为，
设抛物线，则，则，
故的方程为．
（2）联立，得或，
不妨假设，，则．
设，则，
到直线的距离，
因为当时，函数的值域为，
所以，
则，
故面积的取值范围是．
2．椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，过的直线l交C于点A、B，且的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点O为坐标原点，求面积S的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为的周长为8，由椭圆的定义知，故，
又，所以，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）由题意可设直线l的方程为，，，
由，
显然且，，
∴
，
令，∴，
易知S在单调递减，从而．
3．已知椭圆的离心率为，且经过点．设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一个动点（异于椭圆的左、右端点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的切线，过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由椭圆的离心率，可得，即有，
再结合、、三者的关系可得，
椭圆的方程可化为，
将点代入上述椭圆方程可得，
求解得，所以，，，
椭圆的方程为．
（2）设直线，
联立直线与椭圆的方程可得．
若直线与椭圆相切，可得上述方程只有一个解，
即有，化简可得，（*）．
设点的坐标为，过点作的垂线为，
联立与求得，，
由上式可得，
将（*）代入上式可得，故可知点的轨迹为以原点为圆心，以为半径的圆．
是椭圆上的异于端点的动点，故该轨迹应去掉点．
的面积为，即面积的最大值为．
4．设点，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，
且的最小值为0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，作，分别交直线于，两点，求四边形的面积的最大值．
【答案】（1）；（2）2．
【解析】（1）设P(x，y)，则，，
所以，，
当时，取到最小值0，
则，，则，
所以椭圆C的方程为．
（2）将直线l的方程代入椭圆C的方程中，
得，
由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点可知，
化简得．
根据点到直线距离公式，可得，．
①当时，四边形是梯形，
设直线l的倾斜角为θ，则，所