人教版2021届小题必练17 新定义类创新题-教师版.docx

2017年高考“最后三十天”专题透析
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（新高考）小题必练17：新定义类创新题
高考数学试题坚持以能力为立意，全面考查学生的数学知识、方法和数学思想．以“新定义”为背景的创新试题，通过在试题中给出新的定义，考查学生的现场学****能力(即自学能力)、阅读理解能力、探究与猜想等创新能力，并考查类比迁移、数形结合和归纳转化等数学思想方法．
1．【2020全国Ⅱ卷】周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为的序列中，满足的序列是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由知，序列的周期为，由已知，，，
对于选项A，
，
，不满足；
对于选项B，
，不满足；
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对于选项D，
，不满足，
故选C．
【点睛】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，根据定义将各选项一一代入，然后分别判断即可．
2．【2020山东卷】信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为，
且，，定义的信息熵，（ ）
A．若，则
B．若，则随着的增大而增大
C．若，则随着的增大而增大
D．若，随机变量所有可能的取值为，且，
则
【答案】AC
【解析】对于A选项，若，则，，所以，
所以A选项正确；
对于B选项，若，则，所以，
当时，；
当时，，
两者相等，所以B选项错误；
对于C选项，若，则，
则随着的增大而增大，所以C选项正确；
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且
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，
，
，
由于，所以，所以，
所以，所以，所以D选项错误，
故选AC．
【点睛】本题主要考查新定义“信息熵”的理解和应用，需要结合对数运算、对数函数及不等式性质进行求解．
一、单选题．
1．设向量，，定义一种运算“”．向量，已知，，点在的图象上运动，点在的图象上运动且满足（其中为坐标原点），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，点的坐标为，
则，
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又因为点在的图象上运动，所以点的坐标满足的解析式，
即，所以函数的最小值为，
故应选B．
2．数列满足：对任意的且，总存在，使得，则称
数列是“数列”，现有以下四个数列：①；②；③；④，其中是“数列”的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】令，则，所以数列是“数列”；
令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；
令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；
令，则，
所以数列是“数列”，
综上，“数列”的个数为．
二、多选题．
3．在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则下列实数的
描述中正确的有（ ）
A．有最大