人教版第14讲 三角函数的图像和性质（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第14讲 三角函数的图像和性质
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图像
定义域
R
R
{x x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
考点和典型例题
1、三角函数的定义域和值域
【典例1-1】（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故选：C
【典例1-2】（2022·辽宁·东港市第二中学高一期中）函数，若，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：函数，
，
，
因为，则
所以，
因为，
所以，一个为的最大值，一个为最小值，
则，或
解得，或
所以（i），或（ii）
对于（i），当时，的最小值是，
对于（ii），当时，的最小值是，
综上，的最小值是，
故选：D
【典例1-3】（2022·全国·模拟预测（文））已知函数，则下列结论中正确的是（       ）
A．函数的最小正周期为 B．时取得最小值
C．关于对称 D．时取得最大值
【答案】D
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以函数的最小正周期，A错误，
，BC错误，
，D正确.
故选：D.
【典例1-4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式对恒成立，则m的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为不等式对恒成立，
所以不等式对恒成立，
令，
因为，所以，
则，
所以，
所以，解得，
所以m的最小值为，
故选：D
【典例1-5】（2022·重庆八中高三阶段练****函数在上的值域是，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，，则，
要使f(x)在上的值域是，
则.
故选：C.
2、三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【典例2-1】（2022·山东威海·三模）己知函数为偶函数，则(       )
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵f(x)定义域为R，且为偶函数，
∴，
，．
当时，为偶函数满足题意．
故选：C．
【典例2-2】（2022·天津和平·三模）函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为
，
所以，而为偶函数，所以
，即，而，所以的最小值是．
故选：B．
【典例2-3】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数的图像经过点，则的最小正周期为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为函数的图像经过点，
所以，得，
所以，得，
所以，所以，
所以，
所以的最小正周期为，
故选：C
【典例2-4】（2022·陕西西安·一模（理））若函数的最小正周期为，则是（       ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．是奇函数也是偶函数
【答案】B
【详解】
因为函数的最小正周期为，解得，
所以，，
所以，函数为偶函数.
故选：B.
【典例2-5】（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数的最小值周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题可得，即，则函数的解析式为，
将的图象向右平移个单位长度所得的函数解析式为：
，又函数图象关于轴对称，
当时