人教高中数学第6章 §6.2　等差数列.docx

§6.2　等差数列
考试要求　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
知识梳理
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列．
常用结论
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　√　)
(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　√　)
(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．
(　√　)
教材改编题
1．已知等差数列{an}中，a2＝3，前5项和S5＝10，则数列{an}的公差为(　　)
A．－1 B．－
C．－2 D．－4
答案　A
解析　设等差数列{an}的公差为d，
∵S5＝5a3＝10，
∴a3＝a2＋d＝2，
又∵a2＝3，∴d＝－1.
2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a5＝________.
答案　90
3．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________.
答案　126
解析　由已知可得
解得
∴S9＝9a1＋d＝－90＋36×6＝126.
题型一　等差数列基本量的运算
例1　(1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(　　)
A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5
C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
答案　ABC
解析　S4＝＝0，
∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；
a5＝a1＋4d＝5，①
a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
联立①②得
∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，
B正确，D错误；
Sn＝－3n＋×2＝n2－4n，C正确．
(2)(2022·内蒙古模拟)已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7等于(　　)
A．13 B．14 C．15 D．16
答案　C
解析　∵∴
解得则a7＝a1＋6d＝15.
教师备选
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝5，S4＝24，则a9等于(　　)
A．－5 B．－7
C．－9 D．－11
答案　B
解析　∵a3＝5，S4＝24，
∴a1＋2d＝5,4a1＋6d＝24，
解得a1＝9，d＝－2，
∴an＝11－2n，
∴a9＝11－2×9＝－7.
2．已知{an}是公差不为零的等差数列，且a1＋a10＝a9，则＝________.
答案　
解析　∵a1＋a10＝a9，
∴a1＋a1＋9d＝a1＋8d，即a1＝－d，
∴a1＋a2＋…＋a9＝S9＝9a1＋d＝27d，
a10＝a1＋9d＝8d，∴＝.