人教高中数学第8章 §8.6　直线与椭圆.docx

§8.6　直线与椭圆
考试要求　1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解直线与椭圆相交的综合问题．
知识梳理
1．直线与椭圆的位置判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0.
2．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝
或|AB|＝|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0.
常用结论
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)．
(1)通径的长度为.
(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)
(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则.
(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则kOM·kAB＝－.
(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－.
(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　√　)
(2)直线y＝x与椭圆＋y2＝1一定相交．(　√　)
(3)直线y＝x－1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(　×　)
(4)过椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的斜率k＝.(　×　)
教材改编题
1．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
答案　A
解析　方法一　(通解)联立直线与椭圆的方程得
消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交．
方法二　(优解)直线过点(0,1)，而0＋＜1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．
2．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，
所以右焦点坐标为(，0)，
则直线l的方程为y＝x－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消y得，5x2－8x＋8＝0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|AB|＝·
＝×＝.
即弦AB的长为.
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________．
答案　＋x2＝1
解析　因为椭圆＋＝1的右顶点为A(1,0)，
所以b＝1，
因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，
所以＝1，a＝2，
所以椭圆方程为＋x2＝1.
题型一　直线与椭圆的位置关系
例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点．
解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
消去y并整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
教师备选
(多选)直线y＝kx－k＋与椭圆＋＝1的位置关系可能为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．有3个公共点
答案　AB
解析　直线y＝kx－k＋＝k(x－)＋恒过定点，又点在椭圆上，故直线与椭圆可能相交也可能相切．
思维升华　判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
跟踪训练1　已知动点M到两定点F1(－m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0<m<2)，且动点M的轨迹曲线C过点N.
(1)求m的值；
(2)若直线l：y＝kx＋与曲线C有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．
解　(1)由0<m<2，得2m<4，可知曲线C是以两定点F1(－m，0)