人教高中数学第11讲 抛物线 （教师版）.docx

第11讲 抛物线
真题展示
2022新高考一卷第11题
已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则　　
A．的准线为 B．直线与相切
C． D．
【思路分析】对于，根据题意求得的值，进而得到准线；对于，求出直线方程，联立直线与抛物线方程即可得出结论；对于，设过点的直线方程为，联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两根之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项．
【解析】
【解法一】(基本不等式)点在抛物线上，
，解得，
抛物线的方程为，准线方程为，选项错误；
由于，，则，直线的方程为，
联立，可得，解得方程有两个相等的根，故直线与抛物线相切，选项正确；
根据对称性及选项的分析，不妨设过点的直线方程为，与抛物线在第一象限交于，，，，
联立，消去并整理可得，则，，，
，由于等号在时才能取到，故等号不成立，选项正确；
，选项正确．
故选：．
【解法二】 (参数方程)：将A点坐标代入抛物线C的方程得2p=1，从而p=，C的准线为y=−，A错误；
直线AB的方程为y=2x−1，代入抛物线C的方程得=2x−1，即−2x+1=0，判别式△=0，且AB不平行于抛物线的对称轴，故AB与抛物线C相切，B正确；
设直线PQ的方程为(t为参数，α为直线的倾斜角)，代入抛物线C的方程得+1=0,判别式△=，即，
设P、Q对应的参数分别为、，则+=sinαcos2α，=,∴|BP|∙|BQ|==>5=，D正确；
|OP|===,
同理|OQ|=，故|OP|×|OQ|=
===>2=.C正确。
【试题评价】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
知识要点整理
一　抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
思考　抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F?
答案　若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
知识点二　抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
x＝
x2＝2py(p>0)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
y＝
二　抛物线的简单几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
F
F
F
F
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p
三　直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
四　和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程．
五　直线和抛物线
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2．抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②＝x1＋x2＋p；
③＋＝.
三年真题
1．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点．若，则（    ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【详解】解：设点的坐标分别为．
又，则，，
．
由抛物线的定义可得：，，
故选：B
2．设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示过点做轴，令，
因为是抛物线的焦点，与轴正向的夹角为，
所以由抛物线的性质得，解得，
所以，
故选：B
3．双曲线的左准线为l，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为l，焦点为；与的一个交点为M，则等于（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】
过作准线的垂