人教高中数学第17讲 零点问题（解析版）.docx

第17讲 零点问题
高考预测一：三次函数零点问题
1．已知函数
（1）若函数在处取得极值2，求，的值；
（2）求试讨论的单调性；
（3）若（实数是与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值．
【解析】解：（1），，
若函数在处取得极值2，
则，解得：；
（2），
时，令，解得：或，
在递增，在，递减，在递增，
时，，在递增，
时，令，解得：或，
在递增，在递减，在，递增；
（3）由（2）得：函数有2个极值，
分别是：，，
则函数有3个零点等价于，
或，
又，时，或时，，
设（a），
函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，
上，（a），在，，上，（a）均恒成立，
从而，且，故；
此时，，
有3个零点，则有2个异于的不等实根，
△，
且，
解得：，
综上：．
2．已知函数．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线，
（2）用，表示，中的最大值，设函数，，当时，讨论零点的个数．
【解析】解：（1）设曲线与轴相切与点，，则，
即，，
当时，轴为曲线的切线．
（2）令，，则
，，，
由，得，
当时，，为增函数；
当，时，为减函数，
，，
①当，即时，有一个零点；
②当，即时，有两个零点；
③当，即时，有三个零点；
④当，即时，有两个零点；
⑤当，即时，有一个零点，
综上，或时，有一个零点；
当或时，有两个零点；
当，有三个零点．
高考预测二：含超越函数的零点问题
3．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【解析】证明：（1）的定义域为，
，，
令，则在恒成立，
在上为减函数，
又，，由零点存在定理可知，
函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，
在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；
当时，单调递增，，单调递增；
由于在，上单调递减，且，，
由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，
当，时，单调递减，，单调递增；
当时，单调递减，，单调递减．
当，时，，，于是，单调递减，
其中，
．
于是可得下表：
0
0
0
单调递减
0
单调递增
大于0
单调递减
大于0
单调递减
小于0
结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，
由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，
当，时，，则恒成立，
因此函数在，上无零点．
综上，有且仅有2个零点．
4．已知函数．
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
【解析】解析：（1）函数．定义域为：，，；
，且，
在和上单调递增，
①在区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，
，，，
在有且仅有一个零点，
②在区间，区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，
又（e），，（e），
在上有且仅有一个零点，
故在定义域内有且仅有两个零点；
（2）是的一个零点，则有，
曲线，则有；
由直线的点斜式可得曲线的切线方程，
曲线在点，处的切线方程为：，
即：，将代入，
即有：，
而曲线的切线中，在点，处的切线方程为：，
将代入化简，即：，
故曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
故得证．
5．已知函数．是自然对数的底数，
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．
【解析】解：（1）的定义域为
所以在，上单调递增．
又，
所以在区间有唯一零点，即，
又，
所以在区间有唯一零点．
综上所述，有且仅有两个零点．
（2）因为，
所以点在曲线上．
由题设
所以直线的斜率．
因为曲线在点处切线的斜率是，
曲线在点处切线的斜率也是，
所以曲线在点处的切线也是曲线的切线．
6．已知函数．
（1）若函数在处取得极值，求曲线在点，（2）处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，，证明：函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．
【解析】解：（1），，
由已知有（1），即，所以（经验证成立），
切点为，
故切线方程为：；
（2）的定义域为，
，
若，则当时，，
故在上单调递增，
若，则当；当，
故在上单调递增，在上单调递减；