人教高中数学第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 教案.doc

第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系
核心素养立意下的命题导向
1.理解空间直线、平面位置关系的定义，提升空间想象能力，凸显直观想象的核心素养．
2．了解可以作为推理依据的公理和定理，培养阅读理解能力，凸显数学抽象的核心素养．
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题，培养分析问题、解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．
[理清主干知识]
1．公理1～3
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
⇒l⊂α
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
　[提醒]　公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．
2．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
3．空间中两条直线的位置关系
(1)位置关系分类：
位置关系
(2)平行公理(公理4)和等角定理：
①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：.
5．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(直线与直线的位置关系)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)
A．一定是异面直线　　　　 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析：选C　假设c∥b，又因为c∥a，所以a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能平行．
2．(确定平面的依据)下列命题正确的是(　　)
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
解析：选D　A选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定一个平面；B选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定一个平面；C选项中的四边形有可能是空间四边形，只有D是正确的．
3．(异面直线所成角)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C　连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°.
4．(平面的基本性质及推论)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　)
A．梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析：选B　如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．
二、易错点练清
1．(误解异面直线的概念)下列关于异面直线的说法正确的是(　　)
A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
解析：选D　A、B、C中的两条直线还有可能平行或相交，由异面直线的定义可知D说法正确．
2．(忽视直线在平面内)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　)
A．b⊂α B．b∥α
C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α
解析：选D　将直线与平面放在正方体中，易知b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．
3．(忽视异面直线所成角的范围)如图所示，已知在长方体ABCD­EFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是________；AE和BG所成角的大小是______