人教高中数学第二十五讲直线方程及圆的方程解析版.docx

第二十五讲：直线方程、圆的方程
【考点梳理】
直线的方程
倾斜角、斜率，五种直线方程（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）
两直线关系
平行、垂直
圆的方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
直线与圆的位置关系
几何法、代数法（相离、相切、相交）
两圆的位置关系
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0
【典型题型讲解】
考点一：直线的方程
【典例例题】
例1.若一次函数所表示直线的倾斜角为，则的值为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的斜率为即
故选：D．
例2.下列四个命题中真命题有_________个．
①经过定点的直线都可以用方程表示；
②经过任意两点的直线都可以用方程表示；
③不经过原点的直线都可以用方程表示；
④经过定点的直线都可以用方程表示．
【答案】1
【解析】①由于直线过定点，当直线斜率存在时，可用方程表示，
当直线斜率不存在时，方程是，①不正确；
②当时，经过任意两个不同的点的直线方程是，满足方程，
当时，经过任意两个不同的点的直线的斜率是，
则直线方程是，整理得，②正确；
③当直线斜率不存在时，不经过原点的直线方程是，不可以用方程表示，
当直线的斜率存在时，不经过原点的直线可以用方程表示，③不正确；
④当直线斜率不存在时，经过点的直线方程是，不可以用方程表示，
当直线的斜率存在时，经过点的直线可以用方程表示，④不正确，
所以给定的4个命题中，真命题只有1个.
故答案为：1
例3.已知，，则满足的的值是（       ）
A． B．0 C．或0 D．或0
【答案】C
【解析】由可得，得或，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
故满足的的值为0或．
故选：C．
例4.直线和直线垂直，则实数__________．
【答案】0或1【解析】因直线和直线垂直，
则有，即，解得或，
所以或．
故答案为：0或1
【方法技巧与总结】
熟记直线方程的公式
【变式训练】
1.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　）
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
【答案】D
【解析】直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.
直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，
因此k1＜k3＜k2.
故选:D.
2.已知集合，集合，，则的取值范围是（       ）
A． B．且
C．且 D．且且
【答案】C
【解析】集合表示直线上去掉点所构成的两条射线，
在方程中，令可得，
集合表示过定点且斜率存在的直线，
由得两直线斜率不同，则，解得．
故选：C.
3.已知直线恒过定点A，点A在直线上，其中m、n均为正数，则的最小值为（       ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【解析】由，得．
∴直线恒过定点，即，
∵点A在直线上，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号．∴的最小值为：8．
故选:C．
4.“”是“直线与直线垂直”的（       ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】直线与直线垂直，
则，解得：或，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件．
故选：B．
5.已知直线：．
（1）求经过的定点坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
②当取最小值时，求直线的方程．
【解析】（1）由可得：，
由可得，所以经过的定点坐标；
（2）直线：，
令可得；令，可得，
所以，
由可得：，
①的面积
，
当且仅当即时等号成立，的最小值为，
此时直线的方程为：即；
②设直线的倾斜角为，则，可得，，
所以，
令，
因为，可得，，
，
将两边平方可得：，
所以，
所以，
因为在上单调递增，所以
，所以，此时，
可得，所以，
所以直线的方程为.
考点二：圆的方程
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）“”是“点在圆外”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分