人教高中数学第七章 复数知识总结.doc

第七章 复数

知识点一：复数的基本知识
1、虚数单位，规定它的平方等于，即.
可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2、形如（）的数叫做复数，记作：（）；
当b=0时，是实数；
当b≠0时，叫做虚数；
当a=0且b≠0时，叫做纯虚数.
3、两个复数相等的充要条件：若，则.
4、复数的几何意义：
复数复平面内的点 平面向量
5、复数的模：设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.
即.
要点诠释：（1）的周期性：如果n∈N，则有：，，，；
（2）复数的共轭复数，记为；
（3）.
知识点二：复数的运算
设，（），则：
要点诠释：（1）设ω＝，则，，，，，(n∈N+)等；
（2）复数求解计算时，要灵活利用i、ω的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i、ω的计算问题． 比如；；；
（3）作复数除法运算时，有如下技巧：．
类型一 复数的概念
【例1】若（是虚数单位），则的值分别等于( )．
A. B. C. D.
【解析】由已知得，所以，，选A．
【答案】A
类型二 复数的运算
【例2】是虚数单位，复数( )．
A. B. C. D.
【解析】.
【答案】A
类型三 复数的模
【例3】(1)设，则( )．
A. B. C. D.2
(2)若复数满足（为虚数单位），则( )．
A．1 B.2 C. D.
【解析】(1)，则.
(2)方法一：设，则由，得，所以，由复数相等的条件得解得，所以，故.
方法二：由，得，所以.
【答案】(1)B (2)C
类型四 复数的几何意义
【例4】(1)在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( ).
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2)设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则( )．
A.-5 B.5 C. D.
【解析】(1)的共轭复数为，对应的点为，在第四象限.
(2)由题知，所以．
【答案】(1)D (2)A
类型五 共轭复数
【例5】设，则的共轭复数为( ).
A. B. C. D.
【解析】，根据共轭复数的定义，其共轭复数是.
【答案】D
类型六 复数方程
【例6】若是关于的实系数方程的一个复数根，则( )．
A. B. C. D.
【解析】根据实系数方程的根的特点知也是该方程的另一个根，所以，即，，故选D．
【答案】D
类型七 与复数有关的创新型问题
复数是高中数学的重要组成部分，创新是高考的热点之一，给复数定义一个新运算，它既能考查同学们的创新思维，又能考查复数与其他知识的综合．
1.新定义型
【例7】定义新运算，则满足关系的复数是( ).
A. B. C. D.
【解析】因为，所以．
【答案】D
【点评】本题给出了一个新定义运算，根据新定义运算构造出关于的方程，从而将问题顺利解决．
2.结论开放型
给出多个结论，需要同学们对每个备选结论判断真伪，写出满足条件的结论.
【例8】对于任意两个复数，，定义运算“”为.设非零复数在复平面内对应的