人教高中数学第五节 对数与对数函数 教案.doc

第五节　对数与对数函数
核心素养立意下的命题导向
1.对数的运算性质与对数的换底公式相结合考查对数的运算，凸显数学运算的核心素养．
2．与不等式等问题相结合考查对数函数的图象及其应用，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
3．与不等式等问题相结合考查对数函数的单调性、值域等性质，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．对数
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N
运算
法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底
公式
logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2．对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域为(0，＋∞)
值域为R
过定点(1,0)，即x＝时，y＝
当x>1时，y>0；
当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y<0
当0<x<1时，y>0
在区间(0，＋∞)上是增函数
在区间(0，＋∞)上是减函数
3．底数的大小决定了图象相对位置的高低
不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c<d<1<a<b.
在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；
在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)
4．反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(对数式的计算)计算：2＋lg 8＋lg 25＋＝________.
答案：5
2．(换底公式的应用)log225·log34·log59＝________.
答案：8
3．(对数函数图象过定点问题)已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
答案：(4，－1)
4．(对数函数的定义域)函数y＝的定义域为________．
答案：[2，＋∞)
5．(对数型函数的单调性)函数y＝log(3x－1)的单调递减区间为________．
答案：
二、易错点练清
1．(对数的运算性质不熟悉)有下列结论：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是____________．
答案：①②③④⑤
2．(忽视真数大于零)已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.
答案：4
3．(忽视对底数的讨论)若函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.
答案：2或
考点一　对数式的化简与求值
[典例]　(1)(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D．
(2)计算下列各式的值：
①log535＋2log－log5－log514；
②[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
[解析]　(1)选B　因为alog34＝2，所以log34a＝2，
则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B.
(2)①原式＝log535＋log550－log514＋2log2
＝log5＋log2＝log553－1＝2.
②原式＝[(log66－log63)2＋log62×log6(2×32)]÷log64
＝÷log622
＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62×log63]÷2log62
＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.
[方法技巧]
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.　　
[针对训练]
1．(多选)(2021·山东临沂期末)若10a＝4,10b＝25，则(　　)
A．