人教高中数学第五节 三角恒等变换 教案.doc

第五节　三角恒等变换
核心素养立意下的命题导向
1.结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．与三角函数的性质相结合考查三角恒等变换的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
T(α－β)
tan(α－β)＝；
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
　[提醒]　在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义．
2．二倍角公式
S2α
sin 2α＝2sin_αcos_α；
变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
变形：cos2α＝，sin2α＝
T2α
tan 2α＝
3．辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝cos(α－φ) .
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(正用二倍角公式)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)
A.　　　　　　　　 B．
C．－ D．－
答案：B
2．(正用两角差的正切公式)已知tan α＝2，则tan＝________.
答案：
3．(逆用两角差的正弦公式)化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为________．
答案：
4．(辅助角公式)cos 15°－4sin215°cos 15°＝________.
解析：cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.
答案：
二、易错点练清
1．(忽视角的范围)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B．
C. D．或
解析：选B　因为α，β为锐角，且sin α＝<，cos β＝>，则cos α＝，且α∈，sin β＝且β∈，
所以sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β＝×＋×＝.
又α＋β∈，所以α＋β＝.
2．(不会逆用公式致错)化简：＝________.
解析：原式＝＝＝＝.
答案：
考点一　三角函数式的化简求值
[典例]　化简：＝________.
[解析]　法一：原式
＝
＝
＝
＝1.
法二：原式＝
＝
＝
＝
＝1.
[答案]　1
[方法技巧]　三角函数式的化简要遵循“三看”原则
　[提醒]　化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等．
[针对训练]
已知α∈(0，π)，化简：
.
解：原式＝.
因为α∈(0，π)，所以cos >0，
所以原式＝＝·＝cos2－sin2
＝cos α.
考点二　三角函数的求值
考法(一)　给值(角)求值
[例1]　(1)＝(　　)
A．－　　　　　　　　　 B．－
C. D．
(2)若α，β均为锐角且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
[解析]　(1)
＝
＝
＝sin 30°＝.
(2)∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π.
∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.
∴sin＝－cos 2β