人教高中数学考点10 函数的单调性（解析版）.docx

考点10 函数的单调性
【命题解读】
考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；
【基础知识回顾】
1. 函数单调性的定义
(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．
(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．
2. 函数单调性的图像特征
对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．
3. 复合函数的单调性
对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
4. 函数单调性的常用结论
(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数；
<0⇔f(x)在D上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，)．
(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”
5.常用结论
1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
1、函数y＝x2－5x－6在区间[2，4]上是(　　)
A．递减函数　　　　　　　　 B．递增函数
C．先递减再递增函数 D．先递增再递减函数
【答案】C
【解析】作出函数y＝x2－5x－6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x＝，在[2，4]上先减后增．故选C.
2、函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　)
A．2　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D．－
【答案】B
【解析】　因为y＝在[2，3]上单调递减，所以ymin＝＝.
故选B.
3、已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D　
【解析】因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)<f.所以0≤2x－1<，
解得≤x<.故选D.
4、设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )
A. y＝在R上为减函数　　　　　　　
B. y＝|f(x)|在R上为增函数
C. y＝－在R上为增函数　　　　　　
D. y＝－f(x)在R上为减函数
【答案】D.
【解析】　如f(x)＝x3，则y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x＝0时无意义，A、C错；y＝|f(x)|是偶函数，在R上无单调性，B错．故选D.
5、对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是　　
A． B．
C． D．
【答案】．
【解析】：若，则对数函数在上单调递增，二次函数开口向上，对称轴，经过原点，可能为，不可能为．
若，则对数函数在上单调递减，二次函数开口向下，对称轴，经过原点，可能为，不可能为．
故选：．
6、函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ．
【答案】(1－